In questa sezione, parleremo del volume di una sezione di una sfera insieme ad alcuni esempi risolti. Iniziamo con la conoscenza pre-richiesta per comprendere l’argomento, ovvero il volume di una sezione di una sfera. Il volume di un oggetto tridimensionale è definito come lo spazio occupato dall’oggetto in uno spazio tridimensionale.
Il Volume di una Sezione di una Sfera
Il volume di una sezione di una sfera è definito come lo spazio totale occupato da una sezione della sfera. Una sezione di una sfera è una porzione di sfera. In altre parole, è la forma ottenuta quando la sfera viene tagliata in modo specifico. La sezione di una sfera può avere varie forme possibili a seconda di come viene tagliata. Sono ben noti esempi di sezioni di una sfera il settore sferico, la calotta sferica, il segmento sferico e la cuneo sferico. Vediamo le formule per calcolare il volume di questi diversi tipi di sezioni di sfera.
Volume di una Calotta Sferica
La formula per calcolare il volume di una calotta sferica è:
(1/3)πh2(3r-h)
dove r è il raggio della sfera e h è l’altezza della calotta sferica.
Volume di un Settore Sferico
La formula per calcolare il volume di un settore sferico è:
(2/3)πr3(1-cosθ)
dove r è il raggio della sfera e θ è l’angolo solido del settore sferico.
Volume di un Segmento Sferico
La formula per calcolare il volume di un segmento sferico è:
(πh2/3)(3r-h)
dove r è il raggio della sfera e h è l’altezza del segmento sferico.
Volume di un Cuneo Sferico
La formula per calcolare il volume di un cuneo sferico è:
(2/3)πr3(θ-sinθ)
dove r è il raggio della sfera e θ è l’angolo solido del cuneo sferico.
Formula del Volume di una Calotta Sferica
Una calotta sferica è una porzione di una sfera ottenuta quando la sfera è tagliata da un piano. Per una sfera, se sono dati l’altezza h della calotta sferica, il raggio a del cerchio di base della calotta e il raggio R della sfera (da cui è stata rimossa la calotta), allora il suo volume può essere espresso come:
Volume di una calotta sferica in termini di h e R = (1/3)πh2(3R – h)
Usando il teorema di Pitagora, (R – h)2 + a2 = R2. Pertanto, il volume può essere riscritto come:
Volume di una calotta sferica in termini di h e a = (1/6)πh(3a2 + h2)
Per una calotta sferica con altezza uguale al raggio, h = R, allora si ha una emisfera.
Nota: Il range dei valori per l’altezza è 0 ≤ h ≤ 2R e il range dei valori per il raggio della calotta è 0 ≤ a ≤ R.
Come Calcolare il Volume di una Calotta Sferica?
Come abbiamo appreso nella sezione precedente, il volume della calotta sferica è (1/3)πh2(3R – h) o (1/6)πh(3a2 + h2). Di seguito seguiamo i passaggi indicati per trovare il volume della calotta sferica.
Passo 1:
Identificare il raggio della sfera dalla quale è stata presa la calotta sferica e chiamarlo R.
Passo 2:
Identificare il raggio della calotta sferica e chiamarlo a o l’altezza della calotta sferica e chiamarlo h.
Passo 3:
È possibile utilizzare la relazione (R – h)2 + a2 = R2 se due delle variabili sono note e la terza è sconosciuta.
Passo 4:
Trovare il volume della calotta sferica utilizzando la formula, V = (1/3)πh2(3R – h) o V = (1/6)πh(3a2 + h2).
Passo 5:
Rappresentare la risposta finale in unità cubiche.
Volume di un Settore Sferico (Cono Sferico)
Un settore sferico è una porzione di una sfera che consiste in una calotta sferica e un cono con un apice al centro della sfera e la base della calotta sferica. Il volume di un settore sferico può essere espresso come la somma del volume della calotta sferica e del volume del cono. Per un settore sferico, se sono dati l’altezza h della calotta sferica, il raggio a del cerchio di base della calotta e il raggio R della sfera (da cui è stata rimossa la calotta), allora il suo volume può essere espresso come:
Volume di un cono sferico in termini di h e R = (2/3)πR2h
Come Calcolare il Volume di un Settore Sferico (Cono Sferico)?
Come abbiamo appreso nella sezione precedente, il volume del settore sferico è (2/3)πR2h. Di seguito seguiamo i passaggi indicati per trovare il volume del settore sferico.
Passo 1:
Identificare il raggio della sfera dalla quale è stato preso il settore sferico e chiamarlo R.
Passo 2:
Identificare il raggio della calotta sferica e chiamarlo a o l’altezza della calotta sferica e chiamarlo h.
Passo 3:
È possibile utilizzare la relazione (R – h)2 + a2 = R2 se due delle variabili sono note e la terza è sconosciuta.
Passo 4:
Trovare il volume del settore sferico utilizzando la formula V = (2/3)πR2h.
Passo 5:
Rappresentare la risposta finale in unità cubiche.
Volume di un Segmento Sferico (Tronco di Cono Sferico)
Un segmento sferico è una porzione di una sfera che viene ottenuta quando un piano taglia la sfera nella parte superiore e inferiore in modo che entrambi i tagli siano paralleli tra loro. Per un segmento sferico, se sono dati l’altezza h del segmento sferico, il raggio R1 del cerchio di base del segmento e il raggio R2 del cerchio superiore del segmento, allora il suo volume può essere espresso come:
Volume di un segmento sferico = (1/6)πh(3R12 + 3R22 + h2)
Come Calcolare il Volume di un Segmento Sferico (Tronco di Cono Sferico)?
Come abbiamo appreso nella sezione precedente, il volume del segmento sferico è (1/6)πh(3R12 + 3R22 + h2). Di seguito seguiamo i passaggi indicati per trovare il volume del segmento sferico.
Passo 1:
Identificare il raggio del cerchio di base e chiamarlo R1 e identificare il raggio del cerchio superiore e chiamarlo R2.
Passo 2:
Identificare l’altezza del segmento sferico e chiamarla h.
Passo 3:
Trovare il volume del segmento sferico utilizzando la formula V = (1/6)πh(3R12 + 3R22 + h2).
Passo 4:
Rappresentare la risposta finale in unità cubiche.
Volume di una Cuneo Sferico
Un solido formato dalla rotazione di un semicerchio attorno al suo diametro con meno di 360 gradi. Per una cuneo sferico, se sono dati l’angolo θ (in radianti) formato dal cuneo e il suo raggio R, allora il suo volume può essere espresso come:
Volume di una cuneo sferico = (θ/2π)(4/3)πR2
Se θ è in gradi, allora il volume di una cuneo sferico è dato da (θ/360°)(4/3)πR2.
Come Calcolare il Volume di una Cuneo Sferico?
Come abbiamo appreso nella sezione precedente, il volume della cuneo sferico è (θ/2π)(4/3)πR2. Di seguito seguiamo i passaggi indicati per trovare il volume della cuneo sferico.
Passo 1:
Identificare il raggio della cuneo sferico e chiamarlo R.
Passo 2:
Identificare l’angolo della cuneo sferico e chiamarlo θ.
Passo 3:
Trovare il volume della cuneo sferico utilizzando la formula V = (θ/2π)(4/3)πR2.
Passo 4:
Rappresentare la risposta finale in unità cubiche.
fonte di riferimento: https://it.wikipedia.org/wiki/Della_sfera_e_del_cilindro
