La fattorizzazione di trinomi consiste nel scrivere un’espressione come prodotto di due o più binomi ed è scritta come (x + m) (x + n). Un binomio è un polinomio a due termini mentre un trinomio è un polinomio a tre termini. La fattorizzazione di trinomi viene eseguita dividendo le espressioni algebriche in un binomio che può essere moltiplicato nuovamente per ottenere il trinomio. Approfondiamo la conoscenza sulla fattorizzazione di trinomi, i diversi metodi e risolviamo alcuni esempi per comprendere meglio il concetto.

Cos’è la Fattorizzazione di Trinomi?

La fattorizzazione di trinomi consiste nella conversione di un’espressione algebrica da una forma trinomiale a una forma binomiale. Un trinomio è un polinomio con tre termini e con un’espressione generale come ax2 + bx + c, dove a e b sono coefficienti e c è una costante. Esistono tre semplici passaggi da ricordare mentre si effettua la fattorizzazione di trinomi:

Identificare i valori di b (termine di mezzo) e c (ultimo termine).
Trovare due numeri che sommati danno b e moltiplicati danno c.
Usare questi numeri per fattorizzare l’espressione e ottenere i termini fattorizzati.

Due numeri interi come r e s sono considerati per la fattorizzazione di un trinomio, la cui somma è b e il cui prodotto è ac. Possiamo riscrivere il trinomio come ax2 + rx + sx + c e quindi utilizzare la raggruppamento e la proprietà distributiva per fattorizzare il polinomio. Dopo che il trinomio è stato sottoposto al processo di fattorizzazione, l’espressione diventa un binomio nella forma (x + r) (x + s). Ecco un’immagine per capire meglio:

Scomposizione di Trinomi, Definizione, Regole, Metodi, Formula, Esempi

Metodi per Fattorizzare Trinomi

Oltre al metodo di raggruppamento, esistono altri metodi per fattorizzare trinomi:

Metodo di Decomposizione: dove il trinomio viene fattorizzato scomponendo il termine centrale in due parti.
Metodo di Fattorizzazione per la Differenza di Quadrati: dove un trinomio è fattorizzato come la differenza di due quadrati.
Metodo di Fattorizzazione per la Somma e Differenza di Cubi: dove un trinomio è fattorizzato come la somma o la differenza di due cubi.

Esempi di Fattorizzazione di Trinomi

Ecco alcuni esempi di fattorizzazione di trinomi:

x² + 6x + 8 = (x + 2) (x + 4)
x² – 5x + 6 = (x – 2) (x – 3)
2x² – 3x – 2 = (2x + 1) (x – 2)

Regole per la Fattorizzazione di Trinomi

Per fattorizzare un trinomio esistono dei punti o delle regole da ricordare. Queste regole si basano sui segni matematici come (+) e (-) che giocano un ruolo importante durante la fattorizzazione di trinomi e la rendono semplice. Le regole sono le seguenti:

Se tutti i termini del trinomio sono positivi, allora tutti i termini dei binomi saranno positivi.
Se l’ultimo termine del trinomio è negativo, ma il termine di mezzo e il primo termine sono positivi, allora un termine del binomio sarà negativo e l’altro sarà positivo. (Il fattore maggiore sarà positivo e il fattore minore sarà negativo).
Se il termine di mezzo e l’ultimo termine del trinomio sono negativi e il primo termine è positivo, allora il segno per un binomio sarà positivo e per l’altro sarà negativo. (Il fattore maggiore sarà negativo e il fattore minore sarà positivo).
Se l’ultimo termine e il primo termine del trinomio sono positivi, ma il termine di mezzo è negativo, allora entrambi i segni dei binomi saranno negativi.
Cerca fattori comuni per il trinomio ax2 + bx + c, dove a è 1. Fattorizza prima il fattore comune e poi il resto dell’espressione.
Se ax2 è negativo in un trinomio, puoi fattorizzare -1 dall’intero trinomio per prima cosa.

Metodi per la Fattorizzazione di Trinomi

La fattorizzazione di un trinomio significa espandere un’equazione in prodotto di due o più binomi. Viene scritta come (x + m) (x + n). Un trinomio può essere fattorizzato in molti modi. Esaminiamo ogni caso:

Trinomio Quadratico in una Variabile

La forma generale della formula di un trinomio quadratico in una variabile è ax2 + bx + c, dove a, b, c sono termini costanti e né a, b, né c sono zero. Per i valori di a, b, c, se b2 – 4ac > 0, allora possiamo sempre fattorizzare un trinomio quadratico. Ciò significa che ax2 + bx + c = a(x + h)(x + k), dove h e k sono numeri reali. Ora impariamo come fattorizzare un trinomio quadratico con un esempio:

Esempio: Fattorizza: 3×2 – 4x – 4

Soluzione:

Passaggio 1: Prima moltiplica il coefficiente di x2 e il termine costante. 3 × -4 = -12
Passaggio 2: Scompone il termine di mezzo -4x in modo che, moltiplicando i numeri risultanti, otteniamo il risultato -12 (ottenuto dal primo passaggio). -4x = -6x + 2x -6 × 2 = -12
Passaggio 3: Riscrivi l’equazione principale applicando il cambiamento al termine di mezzo. 3×2 – 4x – 4 = 3×2 – 6x + 2x – 4
Passaggio 4: Unisci i primi due termini e gli ultimi due termini, semplifica l’equazione e toglie eventuali numeri o espressioni comuni. 3×2 – 6x + 2x – 4 = 3x (x – 2) + 2(x – 2)
Passaggio 5: Prendi di nuovo (x – 2) comune da entrambi i termini. 3x (x – 2) + 2(x – 2) = (x – 2) (3x + 2)

Quindi, (x – 2) e (3x + 2) sono i fattori di 3×2 – 4x – 4.

Trinomio Quadratico in Due Variabili

Non esiste un modo specifico per risolvere un trinomio quadratico in due variabili. Prendiamo un esempio:

Esempio: Fattorizza: x2 + 3xy + 2y2

Soluzione:

Passaggio 1: Questi tipi di trinomi seguono anche la stessa regola come sopra, ovvero dobbiamo scomporre il termine di mezzo. x2 + 3xy + 2y2 = x2 + 2xy + xy + 2y2
Passaggio 2: Semplifica l’equazione e toglie i numeri o le espressioni comuni. x2 + 2xy + xy + 2y2 = x (x + 2y) + y (x + 2y)
Passaggio 3: Prendi di nuovo (x + 2y) comune da entrambi i termini. x (x + 2y) + y (x + 2y) = (x + y) (x + 2y)

Quindi, (x + y) e (x + 2y) sono i fattori di x2 + 3xy + 2y2

Se il Trinomio è un’Identità

Vediamo alcune identità algebriche che sono menzionate nella tabella qui sotto:

Identità	Forma Espansa
(x + y)2	x2 + 2xy + y2
(x – y)2	x2 – 2xy + y2
x2 – y2	(x + y) (x – y)

Esempio: Fattorizza: 9×2 + 12xy + 4y2

Soluzione:

Passaggio 1: Identifica quale identità può essere applicata nell’espressione. Possiamo applicare (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Passaggio 2: Riorganizza l’espressione in modo che possa apparire nella forma dell’identità sopra. 9×2 + 12xy + 4y2 = (3x)2 + 2 × 3x × 2y + (2y)2
Passaggio 3: Una volta che l’espressione è organizzata nella forma dell’identità, scrivine i fattori. (3x)2 + 2 ×

Coefficiente Principale di 1

Guardiamo un esempio:

Esempio: Fattorizza x2 + 7x + 12

Soluzione:

Passaggio 1: Confronta l’equazione data con la forma standard per ottenere i coefficienti. ax2 + bx + c è la forma standard, confrontando l’equazione x2 + 7x + 12 otteniamo a = 1, b = 7 e c = 12
Passaggio 2: Trova i fattori accoppiati di c, ovvero 12, in modo che la loro somma sia uguale a b, ovvero 7. I fattori accoppiati di 12 sono (1, 12), (2, 6) e (3, 4). Pertanto, la coppia adatta è 3 e 4.
Passaggio 3: Aggiungi ciascun numero a x separatamente. (x + 3) (x + 4)

Quindi, (x + 3) (x + 4) sono i fattori di x2 + 7x + 12.

Fattorizzazione con GCF

Quando il trinomio deve essere fattorizzato e il coefficiente principale non è uguale a 1, viene applicato il concetto di GCF (MCD – Massimo Comune Divisore). Vediamo i passaggi:

Scrivere il trinomio in ordine decrescente, dal termine di grado più alto a quello di grado più basso.
Trovare il GCF tramite fattorizzazione.
Trovare il prodotto del coefficiente principale ‘a’ e del costante ‘c’.
Trovare i fattori del prodotto ‘a’ e ‘c’. Scegliere una coppia che sommi per ottenere il numero invece di ‘b’.
Riscrivere l’equazione originale sostituendo il termine “bx” con i fattori scelti.
Fattorizzare l’equazione per raggruppamento.

Termini negativi

In alcune situazioni, a è negativo, come in −ax2 + bx + c. Per semplificare la fattorizzazione del trinomio, si estrae -1 da ax2 come primo passaggio e si fattorizza il resto dell’espressione. Vediamo un esempio:

Esempio: Fattorizzare -4×2 – 8x – 3.

Soluzione:

Passaggio 1: Estrarre -1 dall’espressione che cambia i segni dell’intera espressione. -1 (4×2 + 8x + 3)
Passaggio 2: Moltiplicare il primo termine e il termine costante. 4 × 3 = 12
Passaggio 3: Spezzare il termine medio 8x in modo che moltiplicando i numeri risultanti si ottiene il risultato 12 (ottenuto dal passaggio precedente) 8x = 6x + 2x 6 × 2 = 12.
Passaggio 4: Riscrivere il termine medio e raggruppare. -1 (4×2 + 6x + 2x + 3) -1 ([4×2 + 2x] + [6x + 3])
Passaggio 5: Fattorizzare i termini raggruppati. -1 (2x[2x + 1] + 3[2x + 1])
Passaggio 6: Scrivere come un binomio. -1 [(2x + 1)(2x + 3)] (-2x -1)(2x -3)

Quindi, (-2x -1) (2x -3) sono i fattori di -4×2 – 8x – 3.

Formula di fattorizzazione del trinomio

Un trinomio può essere un quadrato perfetto o un quadrato non perfetto. Abbiamo due formule per fattorizzare un trinomio quadrato perfetto. Ma per fattorizzare un trinomio non perfetto, non abbiamo alcuna formula specifica, invece abbiamo un processo.

Le formule di fattorizzazione dei trinomi perfetti quadrati sono:

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

Per applicare una qualsiasi di queste formule, il trinomio dovrebbe essere una delle forme a2 + 2ab + b2 (o) a2 – 2ab + b2.

Il processo di fattorizzazione di un trinomio non perfetto ax2 + bx + c è:

Trovare ac e identificare b.
Trovare due numeri il cui prodotto è ac e la cui somma è b.
Dividere il termine centrale come la somma di due termini utilizzando i numeri dal passaggio – 2.
Fattorizzare raggruppando.

Per fattorizzare un trinomio della forma ax2 + bx + c, possiamo utilizzare una delle formule di seguito: