La proprietà del prodotto nullo viene utilizzata per trovare il valore dei singoli fattori. Se un’espressione soddisfa la proprietà del prodotto nullo, allora è uguale a zero e ha soluzioni. Soddisfare questa proprietà significa che da un lato del simbolo di uguale abbiamo un’espressione che è un prodotto di fattori e dall’altro lato è uguale a zero.
La proprietà del prodotto nullo è applicabile alle equazioni algebriche ma non alle matrici o ai vettori. Vediamo di più a riguardo attraverso degli esempi.
Cos’è la proprietà del prodotto nullo?
La proprietà del prodotto nullo ha un lato dell’espressione uguale a zero e l’altro lato è il prodotto di due o più fattori. Questa proprietà si applica alla moltiplicazione in algebra, nelle matrici e per i vettori. La proprietà del prodotto nullo dice che se il prodotto di due o più fattori è uguale a zero, allora almeno uno dei fattori è uguale a 0 (altrimenti, il prodotto non sarebbe uguale a 0).
In altre parole, la proprietà del prodotto nullo può essere estesa a più fattori e si presenta come segue in quel caso:
(x + a)(x + b)(x + c)….(x + n) = 0 ⇒ x + a = 0 (or) x + b = 0 (or) …. (x + n) = 0
Notare che, affinché il prodotto sia uguale a 0, più di uno dei fattori può essere uguale a zero. L’applicazione della proprietà del prodotto nullo può essere effettuata per le equazioni, ma non può essere applicata alle matrici e ai vettori.
La proprietà del prodotto nullo nelle equazioni
La proprietà del prodotto nullo per le equazioni è utile per risolvere l’equazione e trovare i valori delle variabili. L’espressione algebrica che segue la proprietà del prodotto nullo ha fattori e può anche essere risolta per trovare i valori delle variabili. La proprietà del prodotto nullo è molto utile per risolvere le equazioni quadratiche che sono nella forma fattorizzata.
Ad esempio, se (x + p) (x + q) = 0, allora, grazie alla proprietà del prodotto nullo, possiamo dire che x + p = 0 o x + q = 0 e risolvendo ciascuno di questi per x si ottengono le soluzioni dell’equazione quadratica data.
Allo stesso modo, la proprietà del prodotto nullo può essere applicata alle equazioni polinomiali. Ad esempio, se x (x + 1) (x + 2) = 0, allora, grazie all’applicazione della proprietà del prodotto nullo, x = 0 (o) x + 1 = 0 (o) x + 2 = 0 che fornisce x = 0, -1 e -2 come radici.
La proprietà del prodotto nullo nelle matrici
La proprietà del prodotto nullo non è applicabile alle matrici. In altre parole, anche se il prodotto di due matrici è una matrice nulla, non è obbligatorio che una delle matrici sia una matrice nulla. Pertanto, la proprietà del prodotto nullo non può essere applicata alla moltiplicazione di matrici. Consideriamo il seguente esempio.
Sia A = \(\left [ {\begin {array} {cc} 0 & 1 \\ \\ 0 & 0 \\ \end {array} } \right]\) e B = \(\left [ {\begin {array} {cc} 0 & 0 \\ \\ 0 & 1 \\ \end {array} } \right] \). Possiamo verificare che AB = O.
AB = \(\left [ {\begin {array} {cc} 0 & 1 \\ \\ 0 & 0 \\ \end {array} } \right] \) \(\left [ {\begin {array} {cc} 0 & 0 \\ \\ 0 & 1 \\ \end {array} } \right] \) = \(\left [ {\begin {array} {cc} 0 & 0 \\ \\ 0 & 0 \\ \end {array} } \right] \)
Ma osserviamo che nessuna delle matrici A e B è effettivamente una matrice nulla.
La proprietà del prodotto nullo nei vettori
Anche la proprietà del prodotto nullo non può essere applicata ai vettori. Quando il prodotto scalare o il prodotto vettoriale di due vettori è 0, non significa che almeno uno dei vettori sia un vettore nullo. Consideriamo i seguenti esempi.
Esempio 1:
Per a = i + j e b = i – j, a · b = (i + j) · (i – j) = 1 – 1 = 0, ma né a né b è un vettore nullo.
Esempio 2:
Sappiamo che i × i = 0, ma neanche uno dei vettori è un vettore nullo in questo caso. Infatti, i è un vettore unitario.
Vantaggi e svantaggi della proprietà del prodotto nullo
Di seguito sono riportati alcuni dei vantaggi e svantaggi importanti della proprietà del prodotto nullo.
- La proprietà del prodotto nullo è applicabile per trovare i valori delle variabili in un’equazione algebrica impostando ciascuno dei fattori a 0.
- Ma per risolvere un’equazione utilizzando la proprietà del prodotto nullo, è necessario conoscere il processo di fattorizzazione delle espressioni.
- La proprietà del prodotto nullo non può essere applicata alle matrici o ai vettori.
Cos’è la proprietà del prodotto nullo in Algebra?
La proprietà del prodotto nullo in Algebra è applicabile alle equazioni quadratiche e alle equazioni polinomiali. Questa proprietà dice che per qualsiasi due espressioni ‘a’ e ‘b’, ogni volta che a × b = 0, allora o a = 0 o b = 0. Questa proprietà è utile nella risoluzione di equazioni quadratiche, cubiche, ecc., dopo averle fattorizzate.
Come applicare la proprietà del prodotto nullo?
La proprietà del prodotto nullo può essere applicata quando il prodotto delle espressioni è uguale a zero. Questa proprietà aiuta a equalizzare i singoli fattori dell’espressione a zero e poi risolverla.
La proprietà del prodotto nullo può essere applicata ovunque in matematica?
No, la proprietà del prodotto nullo è applicabile solo per risolvere le equazioni algebriche. Ma non è applicabile né alle matrici né ai vettori.
Cosa afferma la proprietà del prodotto nullo?
La proprietà del prodotto nullo afferma che se c’è il prodotto di fattori da un lato e 0 dall’altro lato di un’equazione, allora almeno uno dei fattori deve essere uguale a 0. Questa affermazione è applicabile anche alle equazioni di grado superiore, ma non alle matrici e ai vettori.
Qual è l’utilizzo della proprietà del prodotto nullo?
La proprietà del prodotto nullo è utile per trovare le radici di un’equazione polinomiale. Ma per applicare questa proprietà, è necessario fattorizzare la parte sinistra dell’equazione polinomiale e far sì che la parte destra sia uguale a 0.
