L’aritmetica media in statistica, non è altro che il rapporto tra tutte le osservazioni e il numero totale di osservazioni in un insieme di dati. Alcuni esempi includono la media delle precipitazioni in un luogo, il reddito medio dei dipendenti di un’organizzazione. Spesso incontriamo affermazioni come “il reddito medio mensile di una famiglia è di ₹15.000 o la media mensile delle precipitazioni in un luogo è di 1000 mm” abbastanza spesso. La media è tipicamente indicata come media aritmetica.
Qui ci concentreremo solo sulla media aritmetica. Capiremo innanzitutto il significato del termine “media”, seguito da alcune esercitazioni risolte alla fine.
Cos’è la media aritmetica?
La media aritmetica è spesso indicata come media o media aritmetica. Viene calcolata aggiungendo tutti i numeri in un determinato insieme di dati e quindi dividendo per il numero totale di elementi all’interno di tale insieme. La media aritmetica (MA) per numeri equamente distribuiti è uguale al numero più centrale. Inoltre, la MA viene calcolata utilizzando numerosi metodi, basati sulla quantità dei dati e sulla distribuzione dei dati.
Esempio di utilizzo della media aritmetica
Possiamo utilizzare la media aritmetica nel seguente esempio. La media dei numeri 6, 8, 10 è 8 poiché 6 + 8 + 10 = 24 e 24 diviso per 3 [ci sono tre numeri] è 8. La media aritmetica mantiene il suo posto nel calcolo del prezzo di chiusura medio di un’azione durante un determinato mese. Supponiamo che ci siano 24 giorni di negoziazione in un mese. Come possiamo calcolare la media? Tutto ciò di cui hai bisogno è prendere tutti i prezzi, sommarli e dividere per 24 per ottenere la MA. Puoi approfondire la differenza tra media e media aritmetica qui.
Differenza tra media e media aritmetica
Anche se il termine “media” e “media aritmetica” vengono spesso utilizzati in modo intercambiabile, la media si riferisce ad un termine più generale che può includere altri tipi di medie come la media geometrica o la media ponderata. D’altra parte, la media aritmetica si riferisce specificamente alla somma dei valori divisi per il numero di valori.
Formula della media aritmetica
La formula generale per trovare la media aritmetica di un determinato set di dati è:
Media (x̄) = Somma di tutte le osservazioni / Numero di osservazioni
Viene indicato con x̄, (si legge x bar). I dati possono essere presentati in diverse forme. Ad esempio, quando abbiamo dati grezzi come i voti di uno studente in cinque materie, sommiamo i voti ottenuti nelle cinque materie e dividiamo la somma per 5, poiché ci sono 5 materie in totale.
Come calcolare la media per grandi quantità di dati?
Consideriamo ora un caso in cui abbiamo molti dati come l’altezza di 40 studenti in una classe o il numero di persone che visitano un parco divertimenti in ogni giorno della settimana. Sarebbe comodo trovare la media aritmetica con il metodo sopra indicato? La risposta è un grande NO! Quindi, come possiamo trovare la media? Organizziamo i dati in una forma significativa e facile da comprendere. Vediamo come calcolare la media aritmetica in tali casi. Studieremo più in dettaglio come trovare la media aritmetica per dati non raggruppati e raggruppati. L’immagine qui sotto presenta la formula generale per trovare la media aritmetica:
Media aritmetica per dati non raggruppati e raggruppati
Per trovare la media aritmetica per dati non raggruppati, usiamo la formula generale che abbiamo visto sopra. Mentre per i dati raggruppati, utilizziamo la formula:
Media (x̄) = (f1x1 + f2x2 + … + fnxn) / (f1 + f2 + … + fn)
dove f1, f2, … fn sono le frequenze rispettive di x1, x2, … xn. Qui, x1, x2, …, xn sono i valori medi del gruppo.
Proprietà della media aritmetica
Diamo uno sguardo ad alcune delle proprietà importanti della media aritmetica. Supponiamo di avere n osservazioni indicate da x₁, x₂, x₃, …, xₙ e x̄ è la loro media aritmetica, allora:
1. Media aritmetica di dati uguali
Se tutte le osservazioni nell’insieme di dati hanno un valore, diciamo ‘m’, allora la loro media aritmetica è anche ‘m’. Consideriamo i dati con 5 osservazioni: 15, 15, 15, 15, 15. Quindi, il loro totale = 15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 15 × 5 = 75; n = 5. Ora, la media aritmetica = totale/n = 75/5 = 15
2. Somma algebrica delle deviazioni dalla media aritmetica è zero
(x₁−x̄) + (x₂−x̄) + (x₃−x̄) + … + (xₙ−x̄) = 0. Per dati discreti, ∑(xi−x̄) = 0. Per distribuzioni di frequenza raggruppate, ∑f(xi−∑x̄) = 0
3. Variazioni dei dati rispetto alla media aritmetica
Se ogni valore nei dati aumenta o diminuisce di una quantità fissa, allora anche la media aumenta / diminuisce dello stesso numero. Se la media di x₁, x₂, x₃, ……, xₙ è X̄, allora la media di x₁+k, x₂+k, x₃+k, ……, xₙ+k sarà X̄+k.
4. Moltiplicazione e divisione dei dati per una quantità fissa
Se ogni valore nei dati viene moltiplicato o diviso per una quantità fissa, anche la media viene moltiplicata o divisa per lo stesso numero. Se la media di x₁, x₂, x₃, ……, xₙ è X̄, allora la media di kx₁, kx₂, kx₃, ……, xₙ+k sarà kX̄. Allo stesso modo, la media di x₁/k, x₂/k, x₃/k, ……, xₙ/k sarà X̄k.
Calcolo della media aritmetica per dati non raggruppati
In questo caso la media aritmetica viene calcolata utilizzando la formula:
Media x̄ = Somma di tutte le osservazioni / Numero di osservazioni
Esempio di calcolo della media aritmetica per dati non raggruppati
Calcoliamo la media aritmetica dei primi 6 numeri naturali dispari:
1, 3, 5, 7, 9, 11
x̄ = (1+3+5+7+9+11) / 6 = 36/6 = 6.
Quindi, la media aritmetica è 6.
Calcolo della media aritmetica per dati raggruppati
Esistono tre metodi (metodo diretto, metodo shortcut e metodo della deviazione) per calcolare la media aritmetica per dati raggruppati. La scelta del metodo da utilizzare dipende dal valore numerico di xi e fi. xi è la somma di tutti i dati in ingresso e fi è la somma delle loro frequenze. Il simbolo ∑ rappresenta la somma. Se xi e fi sono sufficientemente piccoli, si può utilizzare il metodo diretto. Ma se sono numericamente grandi, utilizziamo il metodo della media aritmetica approssimata o il metodo della deviazione. In questa sezione, studieremo tutti e tre i metodi insieme ad esempi.
Metodo diretto
Questo metodo viene utilizzato quando il valore numerico di xi e fi sono sufficientemente piccoli. Qui, calcoliamo la media utilizzando la formula:
Media x̄ = (f₁x₁ + f₂x₂ + … + fnxn) / (f₁ + f₂ + … + fn)
Metodo shortcut
Questo metodo viene utilizzato quando il valore numerico di xi e fi non sono molto grandi. La formula per calcolare la media è:
Media x̄ = a + (∑fd) / nC
dove a = valore della classe modale, f = frequenza della classe modale, d = intervallo tra le classi, n = numero totale di osservazioni, e C = frequenza della classe modale – frequenza della classe precedente / frequenza della classe modale – frequenza della classe successiva.
Metodo della deviazione
Questo metodo viene utilizzato quando il valore numerico di xi e fi sono molto grandi. La formula per calcolare la media è:
Media x̄ = A + (∑fd) / nσ
dove A = valore assunto per la media, σ = deviazione standard e d = deviazione dalla media.
Metodo diretto per trovare la media aritmetica
Siano x₁, x₂, x₃ ……xₙ le osservazioni con le frequenze f₁, f₂, f₃ ……fₙ. Quindi, la media viene calcolata utilizzando la formula:
x̄ = (x₁f₁+x₂f₂+……+xₙfₙ) / ∑fi
Dove f₁+ f₂ + ….fₙ = ∑fi indica la somma di tutte le frequenze.
Esempio I (dati raggruppati discreti)
Troviamo la media della seguente distribuzione:
| x | 10 | 30 | 50 | 70 | 89 |
|---|---|---|---|---|---|
| f | 7 | 8 | 10 | 15 | 10 |
Soluzione:
xi fi xifi
10 7 10×7 = 70
30 8 30×8 = 240
50 10 50×10 = 500
70 15 70×15 = 1050
89 10 89×10 = 890
Total ∑fi=50 ∑xifi=2750
Aggiungiamo tutti i valori (xifi) per ottenere ∑xifi. Sommiamo tutti i valori di fi per ottenere ∑fi. Ora, utilizziamo la formula per calcolare la media:
x̄ = ∑xifi / ∑fi = 2750/50 = 55
La media è 55. Il problema sopra è un esempio di dati raggruppati discreti.
Esempio II (dati raggruppati continui)
Proviamo a trovare la media della seguente distribuzione:
| Intervallo di classe | 15-25 | 25-35 | 35-45 | 45-55 | 55-65 | 65-75 | 75-85 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Frequenza | 6 | 11 | 7 | 4 | 4 | 2 | 1 |
Soluzione:
Quando i dati sono presentati in forma di intervalli di classe
Metodo shortcut per trovare la media aritmetica
Il metodo shortcut per trovare la media aritmetica è chiamato metodo della media assunta o metodo del cambio di origine. I seguenti passaggi descrivono questo metodo.
Passo 1:
Calcolare la marca di classe (punto medio) di ogni classe (xi).
Passo 2:
Indichiamo con A la media assunta dei dati.
Passo 3:
Trovare la deviazione (di) = xi – A
Passo 4:
Usare la formula:
x̄ = A + (∑fidi/∑fi)
Esempio: Vediamo come fare il calcolo della media usando il metodo shortcut nell’esempio seguente.
| Intervallo di classe | 45-50 | 50-55 | 55-60 | 60-65 | 65-70 | 70-75 | 75-80 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Frequenza | 5 | 8 | 30 | 25 | 14 | 12 | 6 |
Soluzione: Creiamo una tabella di calcolo. Supponiamo che la media assunta sia A = 62,5
Nota: A viene scelto dai valori xi. Di solito viene preso il valore che si trova intorno al centro.
Metodo a deviazione per trovare la media aritmetica
Questo metodo è anche chiamato metodo di cambio di origine o di scala. I seguenti passaggi descrivono questo metodo:
Passo 1:
Calcolare la marca di classe di ogni classe (xi).
Passo 2:
Indichiamo con A la media assunta dei dati.
Passo 3:
Trovare ui = (xi – A) / h, dove h è la dimensione della classe.
Passo 4:
Usare la formula:
x̄ = A + h × (∑fiui/∑fi)
Esempio: Consideriamo il seguente esempio per capire questo metodo. Trovare la media aritmetica dei seguenti dati usando il metodo a deviazione di passo.
| Intervallo di classe | Marca di classe / Punto medio (xi) | fi | di = (xi – A) | fidi |
|---|---|---|---|---|
| 45-50 | 47,5 | 5 | -15 | -75 |
| 50-55 | 52,5 | 8 | -10 | -80 |
| 55-60 | 57,5 | 30 | -5 | -150 |
| 60-65 | 62,5 | 25 | 0 | 0 |
| 65-70 | 67,5 | 14 | 5 | 70 |
| 70-75 | 72,5 | 12 | 10 | 120 |
| 75-80 | 77,5 | 6 | 15 | 90 |
| Intervallo di classe | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | 60-70 | Totale |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Frequenza | 4 | 4 | 7 | 10 | 12 | 8 | 5 | 50 |
Soluzione: Per trovare la media, prima dobbiamo trovare le marche di classe e decidere A (media assunta). Assumiamo A = 35 e h (ampiezza di classe) = 10.
Vantaggi della media aritmetica
L’utilizzo della media aritmetica non è limitato solo alla statistica e alla matematica, ma è anche utilizzata in scienze sperimentali, economia, sociologia e in altre discipline accademiche. Elenchiamo di seguito alcuni dei principali vantaggi della media aritmetica.
Rigidità della formula
In quanto la formula per trovare la media aritmetica è rigida, il risultato non cambia. A differenza della mediana, non viene influenzata dalla posizione del valore nel dataset.
Considera ogni valore del dataset
La media aritmetica tiene in considerazione ogni valore del dataset.
Semplicità del calcolo
Trovare la media aritmetica è abbastanza semplice; anche una persona comune con poche competenze finanziarie e matematiche può calcolarla.
Misura utile di tendenza centrale
La media aritmetica è anche una misura utile di tendenza centrale, in quanto tende a fornire risultati utili, anche con grandi raggruppamenti di numeri.
Manipolazione algebrica
Può essere sottoposta a molti trattamenti algebrici, a differenza della moda e della mediana. Ad esempio, la media di due o più serie può essere ottenuta dalla media delle singole serie.
Ampliamento dell’uso
La media aritmetica è ampiamente utilizzata anche in geometria. Ad esempio, le coordinate del “baricentro” di un triangolo (o di qualsiasi altra figura delimitata da segmenti di linea) sono la media aritmetica delle coordinate dei vertici.
Dopo aver discusso alcuni dei principali vantaggi della media aritmetica, vediamo le sue limitazioni.
Svantaggi della media aritmetica
Analizziamo ora alcuni dei principali svantaggi/demeriti nell’utilizzo della media aritmetica.
Influenza dei valori estremi
Il principale svantaggio della media aritmetica è che è influenzata dai valori estremi presenti nel dataset. Per capire questo, consideriamo il seguente esempio. È il compleanno di Ryma e sta pianificando di regalare un omaggio a tutti gli invitati alla sua festa. Vuole considerare la media di età per decidere quale regalo potrebbe fare a tutti. Le età (in anni) degli invitati sono le seguenti: 2, 3, 7, 7, 9, 10, 13, 13, 14, 14. Qui, n = 10. Somma delle età = 2+3+7+7+9+10+13+13+14+14 = 92. Quindi, la media è uguale a 92/10 = 9,2. In questo caso, si può dire che un regalo che è desiderabile per un bambino di 9 anni potrebbe non essere adatto per un bambino di 2 o 14 anni.
Impossibilità di calcolare la media in alcune distribuzioni
In una distribuzione contenente classi aperte, il valore della media non può essere calcolato senza fare ipotesi sulla dimensione della classe. Ad esempio:
| Intervallo di classe | Marca di classe (xi) | fi | ui = (xi−A)/h | fiui |
|---|---|---|---|---|
| 0-10 | 5 | 4 | -3 | 4 x (-3)=-12 |
| 10-20 | 15 | 4 | -2 | 4 x (-2)=-8 |
| 20-30 | 25 | 7 | -1 | 7 x (-1)=-7 |
| 30-40 | 35 | 10 | 0 | 10 x 0= 0 |
| 40-50 | 45 | 12 | 1 | 12 x 1=12 |
| 50-60 | 55 | 8 | 2 | 8 x 2=16 |
| 60-70 |
| Intervallo di classe | Frequenza |
|---|---|
| Meno di 15 | 20 |
| 15-25 | 12 |
| 25-35 | 3 |
| 35-45 | 12 |
| Più di 45 | 6 |
Sappiamo che per trovare la media aritmetica dei dati raggruppati, abbiamo bisogno della marca di classe di ogni classe. Come evidenziato dalla tabella, ci sono due casi (meno di 15 e più di 45) in cui non è possibile trovare la marca di classe e quindi la media aritmetica non può essere calcolata per tali casi.
Impossibilità di individuare la media in modo grafico
È praticamente impossibile individuare la media aritmetica tramite ispezione o graficamente.
Inutilizzabile per i tipi di dati qualitativi
La media aritmetica non può essere utilizzata per i tipi di dati qualitativi come onestà, sapore preferito di frullato, prodotto più popolare, ecc.
Impossibilità di calcolare la media con un dato mancante
Non è possibile trovare la media aritmetica se manca o è stato perso un singolo osservazione.
Definizione di media aritmetica
La media aritmetica è la misura di tendenza centrale più semplice e ampiamente utilizzata. Coinvolge semplicemente la somma di un gruppo di numeri, quindi dividendo quella somma per il numero dei numeri utilizzati nella serie. Ad esempio, prendiamo i numeri 34, 44, 56 e 78. La somma è 212. Per trovare la media aritmetica divideremo la somma 212 per 4 (il totale dei numeri), questo ci darà la media come 212/4 = 53.
Come calcolare la media aritmetica?
In statistica, la media aritmetica (MA) è definita come il rapporto tra la somma di tutte le osservazioni date e il numero totale di osservazioni. Ad esempio, se il set di dati consiste in 5 osservazioni, la MA può essere calcolata aggiungendo tutte le 5 osservazioni date e dividendo il risultato per 5.
Come trovare la media aritmetica tra due numeri?
Aggiungere i due numeri dati e quindi dividere la somma per 2. Ad esempio, se i due numeri sono 2 e 6, la media aritmetica (che non è altro che la MA o media) viene calcolata come segue: MA = (2 + 6) / 2 = 8/2 = 4.
Quali sono i tipi di media aritmetica?
In matematica, ci occupiamo di diversi tipi di medie come la media aritmetica, la media armonica e la media geometrica.
Qual è l’utilizzo della media aritmetica?
La media aritmetica è una misura di tendenza centrale. Ci consente di conoscere il centro della distribuzione di frequenza considerando tutte le osservazioni.
Quali sono le caratteristiche della media aritmetica?
Alcune importanti proprietà della media aritmetica (MA) sono le seguenti:
- La somma delle deviazioni degli elementi dalla loro MA è sempre zero, ovvero ∑(x – X) = 0.
- La somma delle deviazioni quadrate degli elementi dalla MA è minima, ovvero è inferiore alla somma delle deviazioni quadrate degli elementi rispetto ad altri valori.
- Se ogni elemento nella serie aritmetica è sostituito dalla media, allora la somma di queste sostituzioni sarà uguale alla somma degli elementi specifici.
- Se ai singoli valori viene aggiunto o sottratto una costante, allora la MA può essere anche aggiunta o sottratta dalla stessa costante.
- Se ai singoli valori viene moltiplicata o divisa una costante, allora la MA viene anche moltiplicata o divisa dalla stessa costante.
Cosa è la somma delle deviazioni dalla media aritmetica?
La somma delle deviazioni dalla media aritmetica è uguale a zero.
Come si usa la formula della media aritmetica per dati raggruppati?
La media aritmetica per i dati raggruppati viene calcolata utilizzando la formula:
x̄ = (x₁f₁+x₂f₂+……+xₙfₙ) / ∑fi
x̄ = ∑fx/n
Dove f₁ + f₂ + …. fₙ = ∑fi indica la somma di tutte le frequenze.
Come si usa la formula della media aritmetica per dati non raggruppati?
La media aritmetica per i dati non raggruppati viene calcolata utilizzando la formula:
Media x̄ = Somma di tutte le osservazioni / Numero di osservazioni.
Fonte di riferimento: https://it.wikipedia.org/wiki/Media_(statistica)
