Una matrice ortogonale è una matrice il cui trasposto è uguale all’inversa della matrice stessa. Ricordiamo che il trasposto di una matrice si ottiene scrivendo le righe della matrice come colonne (o) le colonne della matrice come righe. Se il trasposto della matrice è uguale alla matrice originale, allora è una matrice simmetrica. Ma se il trasposto della matrice è uguale all’inversa della matrice originale, allora è chiamata matrice ortogonale.
Ma perché il nome “ortogonale”? Analizziamo la definizione della matrice ortogonale insieme alle sue proprietà, determinante, inversa e alcuni esempi risolti.

Cos’è una Matrice Ortogonale?

Una matrice ortogonale è una matrice quadrata A, tale che il suo trasposto è uguale alla sua inversa. In altre parole, AT = A-1, dove AT è il trasposto di A e A-1 è l’inversa di A. Da questa definizione, possiamo derivare un’altra definizione di matrice ortogonale. Vediamo come.

Derivazione della Definizione di Matrice Ortogonale

Premoltiplichiamo entrambi i membri di AT = A-1 per A:

AAT = AA-1

Sappiamo che AA-1 = I, dove I è la matrice identità (della stessa dimensione di A).

Quindi, AAT = I.

In modo simile, possiamo dimostrare che ATA = I.

Dalle due equazioni sopra, otteniamo AAT = ATA = I.

Di seguito sono riportate le due definizioni di matrice ortogonale:

Definizione di Matrice Ortogonale

Una matrice quadrata ‘A’ è definita “ortogonale” se:

Definizione 1

matrice ortogonale esempi proprietà determinante

AT = A-1

Definizione 2

AAT = ATA = I

Esempio di Matrice Ortogonale

Consideriamo la matrice A = \(\left[\begin{array}{cc}\cos x & \sin x \\ \\ -\sin x & \cos x\end{array}\right]\). Il suo trasposto è, AT = \(\left[\begin{array}{cc}\cos x & -\sin x \\ \\ \sin x & \cos x\end{array}\right]\). Troveremo il prodotto di queste due matrici.

\(\begin{align} &A A^{T}\\ &=\left[\begin{array}{cc}\cos x & \sin x \\ \\ -\sin x & \cos x\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos x & -\sin x \\ \\ \sin x & \cos x\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}\cos ^{2}+\sin ^{2} x & -\cos x \sin x+\sin x \cos x \\ \\ -\sin x \cos x+\cos x \sin x & \sin ^{2} x+\cos ^{2} x\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ \\ 0 & 1\end{array}\right] \\ &=I \end{align}\)

In modo simile, possiamo dimostrare che ATA = I. Pertanto, A è un esempio di matrice ortogonale di ordine 2×2.

Determinante di una Matrice Ortogonale

Il determinante di una matrice ortogonale è +1 o -1. Dimostriamo lo stesso qui.

Consideriamo una matrice ortogonale A. Quindi, per definizione:

AAT = I

Prendendo i determinanti su entrambi i lati, abbiamo:

det(AAT) = det(I)

Sappiamo che il determinante di una matrice identità è 1. Inoltre, per due matrici A e B, det(AB) = det A · det B. Quindi:

det(A) · det(AT) = 1

Sappiamo che det(A) = det(AT). Quindi:

det(A) · det(A) = 1

[det(A)]2 = 1

det(A) = ±1.

Inversa di una Matrice Ortogonale

Per definizione di una matrice ortogonale, per qualsiasi matrice ortogonale A, A-1 = AT. Possiamo dimostrarlo utilizzando anche l’altra definizione:

AAT = ATA = I … (1)

Sappiamo che due matrici A e B sono inverse l’una dell’altra se e solo se:

AB = BA = I … (2)

Dal (1) e dal (2), è evidente che B = AT. Poiché B è l’inverso di A, B = AT è equivalente a A-1 = AT.

Quindi, l’inversa di una matrice ortogonale non è altro che il suo trasposto.

Matrice Ortogonale in Algebra Lineare

Perché il nome “matrice ortogonale” per essa? Ricordiamo il significato di “ortogonale” in algebra lineare. “Ortogonale” significa “perpendicolare”. Due vettori sono detti ortogonali se e solo se il loro prodotto scalare è zero. In una matrice ortogonale, ogni due righe e ogni due colonne sono ortogonali e la lunghezza di ogni riga (vettore) o colonna (vettore) è 1. Esaminiamo questo attraverso un esempio. Consideriamo una matrice ortogonale A = \(\left(\begin{array}{ccc}1 / 3 & 2 / 3 & -2 / 3 \\ -2 / 3 & 2 / 3 & 1 / 3 \\ 2 / 3 & 1 / 3 & 2 / 3\end{array}\right)\) (controllare se AAT = ATA = I). Sappiamo che due vettori sono ortogonali se il loro prodotto scalare è 0. Troviamo il prodotto scalare delle prime due righe.

(1/3, 2/3, -2/3) · (-2/3, 2/3, 1/3) = -2/9 + 4/9 – 2/9 = 0

Quindi, le prime due righe sono ortogonali. In modo simile, è possibile controllare il prodotto scalare di ogni due righe e ogni due colonne. Si otterrà che ogni prodotto scalare è zero.

Inoltre, troviamo la magnitudine (lunghezza) della prima riga.

√[(1/3)2+(2/3)2+(-2/3)2] = √1 = 1

In modo simile, è possibile trovare la lunghezza di ogni riga/colonna. Quindi, il modo semplice per dimostrare che una matrice è una matrice ortogonale è:

Dimostrare che il prodotto scalare di ogni due righe e ogni due colonne è 0 e
Dimostrare che la magnitudine di ogni riga e di ogni colonna è 1.

Proprietà di una Matrice Ortogonale

Ecco le proprietà di una matrice ortogonale (A) in base alla sua definizione.

La trasposta e l’inversa sono uguali. cioè, A-1 = AT.
Il prodotto di A e il suo trasposto è una matrice identità. cioè, AAT = ATA = I.
Il determinante è det(A) = ±1. Pertanto, una matrice ortogonale è sempre non singolare (poiché il suo determinante NON è 0).
Una matrice diagonale con elementi uguali a 1 o -1 è sempre ortogonale. Esempio: \(\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\) è ortogonale.
AT è anche ortogonale. Poiché A-1 = AT, A-1 è anche ortogonale.
Gli autovalori di A sono ±1 e gli autovettori sono ortogonali.
Una matrice identità (I) è ortogonale poiché I · I = I · I = I.

Applicazioni della Matrice Ortogonale

Ecco le applicazioni della matrice ortogonale.

Le matrici ortogonali sono utilizzate nel processamento di segnali multicanale.
Una matrice ortogonale è utilizzata nell’analisi di serie temporali multivariate.
Sono utilizzate in numerosi algoritmi dell’algebra lineare.
Sono utilizzate nella scomposizione QR.

Note importanti sulla Matrice Ortogonale:

Una matrice quadrata è ortogonale se la sua inversa è uguale alla sua trasposta.
Se A è ortogonale, allora A e AT sono l’inverso l’uno dell’altro.
Il determinante di una matrice ortogonale è 1 o -1.
Il prodotto scalare di qualsiasi due righe/colonne di una matrice ortogonale è sempre 0.
Qualsiasi riga/colonna di una matrice ortogonale è un vettore unitario.