Le frazioni parziali sono le frazioni che si formano quando un’espressione razionale complessa viene divisa in due o più frazioni più semplici. In generale, le frazioni con espressioni algebriche sono difficili da risolvere e quindi utilizziamo i concetti di frazioni parziali per dividere le frazioni in numerose sotto-frazioni.

Durante la scomposizione, in genere, il denominatore è un’espressione algebrica e questa espressione viene fattorizzata per facilitare il processo di generazione di frazioni parziali. Una frazione parziale è il contrario del processo di aggiunta di espressioni razionali.

Nel processo normale, eseguiamo operazioni aritmetiche su frazioni algebriche per ottenere un’unica espressione razionale. Questa espressione razionale, su divisione nella direzione opposta, coinvolge il processo di scomposizione di frazioni parziali e porta alle due frazioni parziali. Scopriamo di più sulle frazioni parziali nelle sezioni seguenti.

Cosa sono le frazioni parziali?

Le frazioni parziali sono le frazioni che si ottengono quando un’espressione razionale viene divisa nella somma di due o più espressioni razionali più semplici. Queste frazioni razionali che fanno parte della somma sono chiamate frazioni parziali. Questo processo è chiamato scomposizione di una frazione algebrica in frazioni parziali. Per ottenere le frazioni parziali, il denominatore dell’espressione algebrica data deve essere fattorizzato.

Ogni fattore del denominatore di un’espressione razionale corrisponde ad una frazione parziale. Ad esempio, nella figura sopra, (4x + 1) / [(x + 1)(x – 2)] ha due fattori nel denominatore e quindi ci sono due frazioni parziali, una con il denominatore (x + 1) e l’altra con il denominatore (x – 2).

Frazioni Parziali - Decomposizione, Formule, Metodo

Formule per le Frazioni Parziali

Nell’esempio precedente, i numeratori delle frazioni parziali sono 1 e 3. Il numeratore di una frazione parziale non è sempre una costante. Se il denominatore è una funzione lineare, il numeratore è costante. Se invece il denominatore è un’equazione quadratica, allora il numeratore è lineare. Ciò significa che il grado del numeratore di una frazione parziale è sempre uno in meno rispetto al grado del denominatore. Inoltre, l’espressione razionale deve essere una frazione propria per essere scomposta in frazioni parziali. Di seguito nella tabella sono elencate le formule per le frazioni parziali (qui, tutte le variabili tranne x sono costanti).

Tipo	Forma di frazione razionale	Scomposizione in frazioni parziali
Fattore lineare non ripetuto	(px + q) / (ax + b)	A / (ax + b)
Fattore lineare ripetuto	(px + q) / (ax + b)ⁿ	A₁ / (ax + b) + A₂ / (ax + b)² + ………. + A_n / (ax + b)ⁿ
Fattore quadratico non ripetuto	(px² + qx + r) / (ax² + bx + c)	(Ax + B) / (ax² + bx + c)
Fattore quadratico ripetuto	(px² + qx + r) / (ax² + bx + c)ⁿ	(A₁x + B₁) / (ax² + bx + c) + (A₂x + B₂) / (ax² + bx + c)² + … + (A_nx + B_n) / (ax² + bx + c)ⁿ

4 / [(x – 1) (x + 5)] = [A / (x – 1)] + [B / (x + 5)]

(3x + 1) / [(2x – 1) (x + 2)²] = [A /

Scomposizione in Frazioni Parziali

La scomposizione in frazioni parziali consiste nel scrivere un’espressione razionale come la somma di due o più frazioni parziali. I seguenti passaggi sono utili per comprendere il processo di scomposizione di una frazione in frazioni parziali:

Fase 1: Fattorizzare il numeratore e il denominatore e semplificare l’espressione razionale prima di effettuare la scomposizione in frazioni parziali.
Fase 2: Dividere l’espressione razionale in base alla formula per le frazioni parziali. P / ((ax + b)² = [A / (ax + b)] + [B / (ax + b)²]. Esistono diverse formule per le frazioni parziali in base all’espressione del numeratore e del denominatore.
Fase 3: Prendere il minimo comune multiplo dei fattori dei denominatori delle frazioni parziali e moltiplicare entrambi i lati dell’equazione per questo minimo comune multiplo.
Fase 4: Semplificare e ottenere i valori di A e B confrontando i coefficienti dei termini simili su entrambi i lati.
Fase 5: Sostituire i valori delle costanti A e B sul lato destro dell’equazione per ottenere la frazione parziale.

Impariamo questo processo di scomposizione di una frazione data in frazioni parziali tramite un esempio.

Esempio: Trovare la scomposizione in frazioni parziali dell’espressione (4x + 12) / (x² + 4x)

Soluzione:

Ricordiamo sempre di fattorizzare il denominatore il più possibile prima di effettuare la scomposizione in frazioni parziali. (4x + 12) / (x² + 4x) = (4x + 12) / [x(x + 4)]; Il denominatore ha fattori lineari non ripetuti. Quindi, ogni fattore corrisponde ad una costante nel numeratore durante la scrittura delle frazioni parziali.

Supponiamo che: (4x + 12) / [(x)(x + 4)] = [A / x] + [B / (x + 4)] → (1)

LCD (Denominatore Comune Minimo) della somma (lato destro) è x(x + 4). Moltiplicando entrambi i lati per x(x + 4), 4x + 12 = A(x + 4) + Bx → (2)

Ora dobbiamo risolvere per A e B. Per fare ciò, impostiamo ogni fattore lineare a zero.

Sostituendo x + 4 = 0, o x = -4 in (2): 4(-4) + 12 = A(0) + B(-4); -4 = -4B; B = 1.

Sostituendo x = 0 in (2): 4(0) + 12 = A(0 + 4) + B(0); 12 = 4A; A = 3.

Sostituendo i valori di A e B in (1), otteniamo la scomposizione in frazioni parziali dell’espressione data: (4x + 12) / [x(x + 4)] = [3 / x] + [1 / (x + 4)]

Suggerimenti & Trucchi sulla Scomposizione in Frazioni Parziali

I seguenti suggerimenti sono utili per scomporre una frazione in frazioni parziali:

Se il denominatore ha fattori lineari non ripetuti: le costanti possono essere ottenute impostando ogni fattore lineare a zero.
Se il denominatore ha fattori lineari ripetuti e/o fattori quadratici irriducibili: impostare i fattori lineari a zero per trovare il valore di alcune costanti. Impostare x = 0 per ottenere almeno un’altra costante. Confrontare i coefficienti di x³, x², …, ecc. per trovare le altre costanti.

Frazioni Parziali di Frazioni Improprie

Quando dobbiamo scomporre una frazione impropria in frazioni parziali, dobbiamo prima effettuare la divisione lunga. La divisione lunga è utile per ottenere un numero intero e una frazione propria. Il numero intero è il quoziente nella divisione lunga e il resto forma il numeratore della frazione propria, mentre il divisore è il denominatore. Il formato del risultato della divisione lunga sarebbe Quoziente + Resto/Divisore. Capiremo meglio tutto questo con l’aiuto dell’esempio seguente.

Esempio: Trovare la scomposizione in frazioni parziali dell’espressione (x³ + 4x² – 2x – 5) / (x² – 4x + 4)

Soluzione:

Qui, il grado del numeratore (3) è maggiore del grado del denominatore (2). Quindi la frazione data è impropria. Quindi dobbiamo prima effettuare la divisione lunga. Scriviamo quindi la frazione data come Quoziente + Resto/Divisore. Otteniamo: (x³ + 4x² – 2x – 5) / (x² – 4x + 4) = x + 8 + (26x – 37) / (x² – 4x + 4).

Qui, la frazione sul lato destro è una frazione propria e quindi può essere scomposta in frazioni parziali. (26x – 37) / (x² – 4x + 4) = (26x – 37) / (x – 2)² = A / (x – 2) + B / (x – 2)².

Ora proviamo a risolvere per A e B. Suggerimento: Impostare ciascuno di (x – 2) e x uno per volta a zero per ottenere A e B. Dovresti ottenere A = 26 e B = 15.

Sostituendo questi valori abbiamo: (26x-37)/(x² – 4x + 4) = [26 / (x – 2)] + [15 / (x – 2)²]. Ulteriormente abbiamo: (x³ + 4x² – 2x – 5) / (x² – 4x + 4) = x + 8 + [26 / (x – 2)] + [15 / (x – 2)²].

Note Importanti sulle Frazioni Parziali

I seguenti punti aiutano a comprendere meglio le frazioni parziali.

Il grado del numeratore di una frazione parz

Cosa è il Metodo delle Frazioni Parziali?

Definizione

Il metodo delle frazioni parziali è il risultato di una frazione razionale scritta come somma di due o più frazioni. Per prima cosa semplificare la frazione razionale, scomponendola nei possibili fattori per il numeratore e il denominatore. Successivamente, suddividere l’espressione in frazioni parziali in base alle formule. Le formule per le frazioni parziali dipendono dal numero di fattori e dal grado del denominatore dell’espressione razionale. Infine, trovare il valore delle costanti richieste per risolvere le frazioni parziali.

Qual è la procedura per la decomposizione delle frazioni parziali?

Passi

La decomposizione delle frazioni parziali avviene attraverso i seguenti tre semplici passaggi:

Passo 1: Suddividere le frazioni in base alla formula per la decomposizione delle frazioni parziali e in base al numero di termini del denominatore.
Passo 2: Trovare il minimo comune multiplo dei denominatori e moltiplicare entrambi i lati con il minimo comune multiplo.
Passo 3: Sostituire i valori appropriati per trovare i valori delle costanti nei numeratori delle frazioni parziali.

Cosa si intende per Frazione Parziale?

Definizione

La parola “parziale” significa “parte” e quindi una frazione parziale è una delle frazioni quando una data frazione viene scomposta in somma di molteplici frazioni. L’input per il processo delle frazioni parziali è un’espressione razionale e il risultato è la somma di due o più frazioni proprie.

Quali Sono i Diversi Tipi di Denominatori nelle Frazioni Parziali?

Definizione

I diversi tipi di denominatori nelle frazioni parziali sono basati sul numero di fattori dell’espressione denominatore e sul grado dei termini del denominatore. I diversi tipi di denominatori di una frazione parziale sono P/(ax + b), P/[(ax + b)(cx + d)], P/(ax + b)2, P/(ax + b)3, P/(ax + b)n.

Come Si Aggiungono le Frazioni Parziali?

Punti Chiave

Mentre si scrive un’espressione come somma di frazioni parziali, tenere presente i seguenti punti:

Il grado del numeratore di una frazione parziale è sempre solo di 1 in meno rispetto al grado del denominatore.
Quando una frazione parziale ha fattori ripetuti della forma (ax+b)n (o) (ax2 +bx+c)n, corrispondono a n diverse frazioni parziali in cui i denominatori delle frazioni parziali hanno esponenti 1, 2, 3, …, n.
Per maggiori informazioni, consultare la sezione “Quali sono le Formule Generali delle Frazioni Parziali?” di questa pagina. Per aggiungere le frazioni parziali, rendiamo solo i loro denominatori uguali e li sommiamo.

Fonte di riferimento: https://it.wikipedia.org/wiki/Decomposizione_in_frazioni_parziali_sui_reali

Esempio

Per esempio: 3/x + 1/(x + 4) = 3/x · (x + 4)/(x + 4) + 1/(x + 4) · x/x = (3x + 12)/(x2 + 4x) + x/(x2 + 4x) = (3x + 12 + x)/(x2 + 4x)= (4x + 12)/(x2 + 4x).

Come Risolvere una Frazione Parziale con Radice Ripetuta?

Definizione

Quando una frazione parziale ha fattori ripetuti della forma (ax+b)n o (ax2+bx+c)n, corrispondono a n diverse frazioni parziali in cui i denominatori delle frazioni parziali hanno esponenti 1, 2, 3, …, n. Ad esempio, se il denominatore è della forma (ax+b)n, allora le frazioni parziali corrispondenti dovrebbero essere della forma A1/(ax + b) + A2/(ax + b)2 + ………. An/(ax + b)n.

Come Sapere Quando Utilizzare la Decomposizione delle Frazioni Parziali?

Definizione

La decomposizione delle frazioni parziali deve essere utilizzata quando il denominatore della frazione è un’espressione algebrica e quando c’è la necessità di scomporre la frazione. Inoltre, dovrebbe esserci la possibilità di ottenere almeno due fattori per l’espressione algebrica nel denominatore.

Quali Sono le Formule per Risolvere i Diversi Tipi di Frazioni Parziali?

Definizione

I tipi di frazioni parziali dipendono dal numero di possibili fattori del denominatore e dal grado dei fattori del denominatore. In generale, ci sono circa tre tipi di frazioni parziali. I seguenti tre tipi di frazioni parziali sono i seguenti.

(px + q)/[(ax + b)(cx + d)] = A/(ax + b) + B/(cx + d)
(px + q)/[(ax + b)2] = A/(ax + b) + B/(ax + b)2
(px2 + qx + r)/[(x + a)(x2 + bx + c)] = A/(x + a) + (Bx + c)/(x2 + bx + c)

La Frazione Parziale è una Frazione Propria?

Definizione

Per il processo di ottenere le frazioni parziali, la frazione data deve essere una frazione propria. Se la frazione data è una frazione impropria, il numeratore viene diviso per il denominatore per ottenere un quoziente e un resto. E la frazione che viene utilizzata per scomporre in frazioni parziali in questo caso sarebbe il resto/denominatore.

Come Scomporre una Frazione Parziale con 3 Termini?

Definizione

La scomposizione di una frazione parziale con 3 termini è la stessa della risoluzione delle frazioni parziali con 2 termini. Inoltre, le due formule per le frazioni parziali con 3 termini sono le seguenti.