Le funzioni trigonometriche di base sono le formule seno e coseno, che si riferiscono agli angoli e ai rapporti dei lati di un triangolo rettangolo. Il seno di un angolo è il rapporto tra il lato opposto e l’ipotenusa e il coseno di un angolo è il rapporto tra il lato adiacente e l’ipotenusa. Queste formule costituiscono identità fondamentali che sono definite per gli angoli acuti. L’estensione di questi rapporti a qualsiasi angolo in termini di misura radiante è chiamata funzione trigonometrica. Il seno è positivo nel primo e nel secondo quadrante, mentre il coseno è positivo nel primo e nel quarto quadrante. Il dominio delle funzioni seno e coseno è [-1,1] nell’insieme dei numeri reali.

Cos’è la formula Sin Cos?

Se (x, y) è un punto sulla circonferenza unitaria e se un raggio dall’origine (0, 0) a (x, y) forma un angolo θ rispetto all’asse positivo, allora x e y soddisfano il teorema di Pitagora x2 + y2 = 1, dove x e y rappresentano le lunghezze dei lati del triangolo rettangolo. Quindi, la formula base di sin cos diventa cos2θ + sin2θ = 1.

Identità delle funzioni Sin e Cos

Esistono molte identità legate al seno e al coseno che vengono applicate nelle funzioni trigonometriche. Tutte le espressioni trigonometriche sono più semplici da valutare utilizzando queste formule trigonometriche. Discutiamole in dettaglio.

Formule di Sin e Cos - Derivazione, Esempi

Formule Sin Cos

Per qualsiasi angolo acuto θ, le funzioni degli angoli negativi sono: sin(-θ) = – sinθ cos(-θ) = cosθ

Identità che esprimono le funzioni trigonometriche in termini dei loro complementi: cosθ = sin(90° – θ) sinθ = cos(90° – θ)

Formule di Somma e Differenza delle Formule Sin Cos

Un angolo che è la somma o la differenza di due o più angoli viene chiamato angolo composto. Indichiamo gli angoli composti come α e β. Esistono formule Sin Cos relative ad angoli composti per espandere o semplificare le espressioni trigonometriche. Indaghiamole.

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Trasformazione delle formule Sin e Cos

Identità di Prodotto-Somma e Somma-Prodotto

Esistono alcune identità che scegliamo da un lato per lavorare e apportare sostituzioni finché il lato non è trasformato dall’altro lato. Per verificare un’identità, riscriviamo un lato dell’equazione e lo trasformiamo nell’altro lato. Dalle identità di somma e differenza sopra menzionate, deriviamo le formule di prodotto-somma e di somma-prodotto.

Le formule di prodotto-somma vengono applicate quando viene dato il prodotto dei coseni. Esprimiamo il prodotto come una somma o una differenza, scriviamo la formula, sostituiamo gli angoli dati e infine semplifichiamo.

2 sin α cos β = sin (α +β) + sin (α – β)

2 cos α sin β = sin (α + β) – sin (α – β)

2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β)

2 sin α sin β = cos (α – β) – cos (α + β)

Le formule di somma-prodotto ci permettono di esprimere somme di seno o coseno come prodotti. Queste formule sono le seguenti:

sin α + sin β = 2 sin((α+β)/2) cos((α−β)/2)

sin α – sin β = 2 cos((α+β)/2) sin((α−β)/2)

cos α + cos β= 2 cos((α+β)/2) cos((α−β)/2)

cos α – cos β = -2 sin((α+β)/2) sin((α-β)/2)

Derivazione delle Formule di Prodotto-Somma

Qui esprimiamo i prodotti di coseno e seno come somma. Possiamo derivare la formula di prodotto-somma dalle identità di somma e differenza per il coseno. Se aggiungiamo le due equazioni, otteniamo:

cosα cosβ + sinα sinβ = cos(α − β)

+ cosα cosβ − sinα sinβ = cos(α + β)

––—————————-––————-

2cosα cosβ = cos(α−β) + cos(α + β)

––—————————-––————-

Quindi, dividiamo per 2 e isoliamo il prodotto dei coseni: cosα cosβ = (1/2)[cos(α−β) + cos(α+β)].

In modo simile, possiamo derivare le altre formule esprimendo i prodotti come somma/differenza.

Derivazione delle Formule di Somma-Prodotto

Esistono alcuni problemi che richiedono l’inverso della formula di prodotto-somma. Vediamo la derivazione di queste formule di somma-prodotto. Per questo, usiamo alcune sostituzioni come (u+v)/2 = α, (u- v)/2 = β

Quindi α + β = [(u+v)/2] + [(u- v)/2] = u α – β = [(u + v)/2] – [(u- v)/2] = v

Determiniamo la formula di somma-prodotto sostituendo α e β nella formula di prodotto-somma.

Consideriamo (sinα cosβ) = (1/2)[sin(α + β) + sin(α – β)]

Sostituendo per (α + β) e αβ, otteniamo

sin((u+v)/2) cos ((u-v)/2) = 1/2[sinu + sin v]

2sin((u+v)/2)) cos ((u-v)/2) = sinu + sin v

In modo simile, possiamo derivare le altre identità di somma-prodotto.

Formule Sin e Cos di Angoli Multipli

Abbiamo le formule per gli angoli doppi e tripli e le formule per gli angoli dimezzati come segue:

sin 2θ = 2 sinθ cosθ

sin 3θ = 3 sinθ – 4 sin3θ

cos 2θ = cos2 θ – sin2 θ

cos 2θ = 2cos2θ – 1

cos 2θ = 1- 2sin2 θ

cos 3θ = 4 cos3θ – 3cosθ

sin (θ/2) = ± √((1- cosθ)/2)

cos (θ/2) = ± √((1+ cosθ)/2)

sin θ = 2tan (θ/2) /(1 + tan2 (θ/2))

cos θ = (1-tan2 (θ/2))/(1 + tan2 (θ/2))

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Formule di Somma e Differenza delle Formule Sin Cos

Esempi Utilizzando le Formule Sin e Cos

Esempio 1

Dato sin X = 1/2 e cos Y = 3/4, trovare cos(X+Y)

Soluzione:

Sappiamo che cos(X + Y) = cos X cos Y – sin X sin Y

Dato sin X = 1/2

Sappiamo che cos X = √(1 – sin2X) = √(1 – (1/4)) = √3/2

Quindi, cos X = √3/2

Dato cos Y = 3/4

Sappiamo che sin Y = √(1 – cos2Y) = √(1 – (9/16)) = √7/4

Quindi, sin Y = √7/4

cos X = √3/2 e sin Y = √7/4

Applicando la formula della somma di cos, abbiamo cos(X+Y) = (√3/2) × (3/4) – 1/2 × (√7/4)

= (3√3 – √7)/8

Risposta: cos(X+Y) = (3√3 – √7)/8

Esempio 2

Se sin θ = 3/5, trovare sin2θ.

Soluzione:

Sappiamo che sin2θ = 2 sin θ cos θ

Dobbiamo determinare cos θ.

Utilizziamo la formula sin cos, cos2θ + sin2θ = 1.

Riscrivendo, otteniamo cos2θ = 1 – sin2θ

= 1-(9/25)

cos2θ = 16/25

Quindi, cos θ = 4/5

sin2θ = 2 sin θ cos θ = 2 × (3/5) × (4/5) = 24/25

Risposta: sin2θ = 24/25

Esempio 3

Dimostrare (cos 4a – cos 2a)/ (sin 4a + sin 2a) = -tan a.

Soluzione:

Utilizzando la formula sin cos, riscriviamo il LHS e lo trasformiamo in RHS

\(=\dfrac{-2\sin(\dfrac{4a+2a}{2})\sin(\dfrac{4a-2a}{2})}{2\sin(\dfrac{4a+2a}{2})\cos(\dfrac{4a-2a}{2})}\)

\(=\dfrac{-2\sin(3a) sina}{2\sin(3a) cosa}\)

= – sina /cosa

= −tan a

Così dimostrato.

Risposta: (cos 4a – cos 2a)/ (sin 4a +

Quali sono le formule del seno e del coseno?

In un triangolo rettangolo, il lato opposto all’angolo retto è l’ipotenusa e le due gambe sono il lato adiacente e il lato opposto. Le rapporti trigonometrici sono dati da cosθ = adiacente / ipotenusa e sinθ = opposto / ipotenusa.

A cosa è uguale Sinθ/Cosθ?

Il rapporto tra seno e coseno è uguale alla tangente dello stesso angolo, tanθ = sinθ/cosθ.

Come si trova il coseno conoscendo il seno?

In qualsiasi triangolo rettangolo, il seno è il lato opposto / ipotenusa. Conoscendo questi due lati, il lato adiacente viene trovato e applicato nella formula del coseno che è il lato adiacente / ipotenusa.