In statistica, la formula della covarianza viene utilizzata per valutare la relazione tra due variabili. Essenzialmente, è una misura della varianza tra due variabili. La covarianza è misurata in unità ed è calcolata moltiplicando le unità delle due variabili. La varianza può essere positiva o negativa. Di seguito sono riportati i valori interpretati:
Quando due variabili si muovono nella stessa direzione, si ottiene una covarianza positiva.
Contrariamente al punto precedente, se due variabili si muovono in direzioni opposte, si ottiene una covarianza negativa.
Nota: la formula della covarianza è simile alla formula della correlazione e si occupa del calcolo dei punti dati dalla media in un insieme di dati.
Cos’è la formula della covarianza?
La covarianza è una misura della relazione tra due variabili casuali, in statistica. La covarianza indica la relazione tra le due variabili e aiuta a capire se le due variabili variano insieme. Nella formula della covarianza, la covarianza tra due variabili casuali X e Y può essere indicata come Cov(X, Y).
Formula della covarianza
Formula della covarianza per la popolazione:
Cov(X, Y) = Σ((Xi – X̄)(Yi – Ȳ))/n
Cov(X, Y) = Σ((Xi – X̄)(Yi – Ȳ))/(n-1)
Dove:
- Xi sono i valori della variabile X
- Yi sono i valori della variabile Y
- X̄ è la media della variabile X
- Ȳ è la media della variabile Y
- n è il numero di punti dati
Relazione tra il coefficiente di correlazione e le formule di covarianza
La formula del coefficiente di correlazione può essere espressa come Correlazione = Cov(X,Y)/(σx × σy)
Dove:
- Cov(X,Y) è la covarianza tra X e Y
- σx e σy sono le deviazioni standard di X e Y
Utilizzando la formula sopra riportata, si può ottenere la formula del coefficiente di correlazione utilizzando la covarianza e viceversa. La covarianza viene misurata in unità che possono essere calcolate moltiplicando le unità delle due variabili date. I valori della varianza sono interpretati come segue:
Covarianza positiva:
Le due variabili tendono a muoversi nella stessa direzione.
Covarianza negativa:
Le due variabili tendono a muoversi in direzioni opposte.
Applicazioni della formula della covarianza
La formula della covarianza ha applicazioni nella finanza, principalmente nella teoria del portafoglio. In questo modo, gli asset possono essere scelti in modo da non mostrare una forte covarianza positiva tra di loro, eliminando parzialmente il rischio non sistematico.
Visualizzazioni per semplificare concetti complessi
La matematica non sarà più una materia difficile, soprattutto quando si capiscono i concetti attraverso le visualizzazioni matematiche.
Esempi di utilizzo della formula della covarianza
Esempio 1
Trovare la covarianza per il seguente set di dati x = {2,5,6,8,9}, y = {4,3,7,5,6}
Soluzione:
- Dati i set di dati x = {2,5,6,8,9}, y = {4,3,7,5,6} e N = 5
- Media(x) = (2 + 5 + 6 + 8 + 9) / 5 = 30 / 5 = 6
- Media(y) = (4 + 3 + 7 + 5 + 6) / 5 = 25 / 5 = 5
- Covarianza campionaria Cov(x,y) = ∑(xi – x ) × (yi – y)/ (N – 1) = 2.25
- Covarianza della popolazione Cov(x,y) = ∑(xi – x ) × (yi – y)/ (N) = 1.8
Risposta: La covarianza campionaria è 2,25 e la covarianza della popolazione è 1,8.
Esempio 2
Utilizzando la formula della covarianza, trovare la covarianza per il seguente set di dati x = {5,6,8,11,4,6}, y = {1,4,3,7,9,12}.
Dati i set di dati x = {5,6,8,11,4,6}, y = {1,4,3,7,9,12} e N = 6:
- Media(x) = (5 + 6 + 8 + 11 + 4 + 6) / 6 = 40 / 6 = 6,67
- Media(y) = (1 + 4 + 3 + 7 + 9 + 12) / 6 = 36 / 6 = 6
- Covarianza campionaria Cov(x,y) = ∑(xi – x ) × (yi – y)/ (N – 1) = -0,4
- Covarianza della popolazione Cov(x,y) = ∑(xi – x ) × (yi – y)/ (N) = -0,33
Risposta: La covarianza campionaria è -0,4 e la covarianza della popolazione è -0,33.
Esempio 3
Trovare la covarianza per il seguente set di dati x = {13,15,17,18,19}, y = {10,11, 12,14,16} usando la formula della covarianza.
- Dati i set di dati x = {13,15,17,18,19}, y = {10,11,12,14,16} e N = 5
Cosa è la formula di covarianza in statistica?
In statistica, la formula di covarianza aiuta a valutare la relazione tra due variabili. Essa è essenzialmente una misura della varianza tra due variabili. La formula di covarianza è espressa come:
Formula di covarianza per la popolazione: \(Cov( {X,Y} ) = \frac{{\sum {( {X_i – \overline X })( {Y_i – \overline Y } )} }}{n}\)
Formula di covarianza per un campione: \(Cov( {X,Y} ) = \frac{{\sum {( {X_i – \overline X })( {Y_i – \overline Y } )} }}{n-1}\)
Dove, \(X_i\) sono i valori della variabile X, \(Y_i\) sono i valori della variabile Y, \( \overline X\) è la media della variabile X, \( \overline Y\) è la media della variabile Y e \(n\) è il numero di punti dati.
Come usare la formula di covarianza?
Per i dati forniti:
Passo 1: Ottenere i set di dati.
Passo 2: Calcolare la media per ogni set di dati.
Passo 3: Per ogni risultato, trovare (\(x_i\)- x) e (\(y_i\) – y).
Passo 4: Moltiplicare i risultati ottenuti.
Passo 5: Trovare la covarianza: Formula di covarianza per la popolazione: \(Cov( {X,Y} ) = \frac{{\sum {( {X_i – \overline X })( {Y_i – \overline Y } )} }}{n}\) e Formula di covarianza per un campione: \(Cov( {X,Y} ) = \frac{{\sum {( {X_i – \overline X })( {Y_i – \overline Y } )} }}{n-1}\)
Quali sono i componenti della formula di covarianza?
La formula di covarianza per la popolazione è \(Cov( {X,Y} ) = \frac{{\sum {( {X_i – \overline X })( {Y_i – \overline Y } )} }}{n}\) e la formula di covarianza per un campione è \(Cov( {X,Y} ) = \frac{{\sum {( {X_i – \overline X })( {Y_i – \overline Y } )} }}{n-1}\). Quindi, i componenti della formula di covarianza sono:
\(X_i\) sono i valori della variabile X
\(Y_i\) sono i valori della variabile Y
\( \overline X\) è la media della variabile X
\( \overline Y\) è la media della variabile Y
\(n\) è il numero di punti dati
fonte di riferimento: https://it.wikipedia.org/wiki/Covarianza_(probabilit%C3%A0)
