La forma standard in matematica è il metodo per rappresentare un particolare elemento nel modo più comune. Dall’enorme numero ai numeri più piccoli, dalle equazioni alle linee, ogni elemento in matematica viene indicato in forma standard. Esploreremo questo interessante concetto di forma standard in vari elementi della matematica come le frazioni, le equazioni, l’algebra, la pendenza, insieme alla formula di forma standard. Risolvere esempi e comprendere la regola di base aiuterà a comprendere meglio il concetto.

Cos’è la forma standard?

La forma standard è un modo di scrivere un dato concetto matematico, come un’equazione, un numero o un’espressione, in una forma che segue determinate regole. Viene utilizzata per rappresentare numeri molto grandi o molto piccoli in modo conciso. Ad esempio, 4,5 miliardi di anni si scrive come 4.500.000.000 anni. Come si può vedere, scrivere un numero grande come 4,5 miliardi nella sua forma numerica non solo è ambiguo, ma anche molto lungo e ci sono possibilità di scrivere troppi o troppo pochi zeri. In questo caso, scrivere il numero in forma standard è molto utile. Ad esempio, la forma standard di 4.500.000.000 = 4,5 × 10⁹. Non solo i numeri, ma anche le frazioni, le equazioni, le espressioni, i polinomi, ecc. possono essere scritti in forma standard.

Forma standard dei numeri

Nel Regno Unito e in altri Paesi

La forma standard dei numeri (che è anche nota come “notazione scientifica” dei numeri) ha diversi significati a seconda del Paese in cui ci si trova. Nel Regno Unito e in altri Paesi che seguono le convenzioni britanniche, la forma standard è un altro nome per la notazione scientifica. La notazione scientifica è il processo di scrivere un numero molto grande o molto piccolo utilizzando numeri compresi tra 1 e 10 moltiplicati per la potenza di 10. Ad esempio, 3890 si scrive come 3,89 × 10³. I numeri maggiori di 1 usano potenze positive di 10, mentre i numeri inferiori a 1 usano potenze negative di 10. Ad esempio, 0,0451 si scrive come 4,51 × 10^-2.

Negli Stati Uniti e in altri Paesi

Negli Stati Uniti e in altri Paesi che seguono le convenzioni americane, la forma standard è il modo usuale di scrivere i numeri in notazione decimale. Usando lo stesso esempio, la forma standard di 3890 è semplicemente 3890. La forma espansa di 3890 è 3000 + 800 + 90 e la forma scritta è “tre mila ottocento novanta”.

Forma standard delle frazioni

Nel caso delle frazioni, dobbiamo assicurarci che nella forma standard delle frazioni, il numeratore e il denominatore siano numeri primi tra loro. Ciò significa che non hanno fattori comuni diversi da 1, quindi la forma standard è anche chiamata forma più semplice di una frazione. Ad esempio, 14/22 e 13/6. La forma più semplice di 14/22 = 7/22 e 13/6 è già nella sua forma più semplice poiché 13 e 6 sono numeri primi tra loro.

Forma standard delle equazioni

La forma standard di un’equazione è quella in cui lo zero si trova a destra e tutto il resto a sinistra. cioè, è della forma Ax + By = C, dove A, B e C sono costanti e x e y sono variabili. Questo aiuta a risolvere l’equazione in modo semplice. Le equazioni utilizzate per i polinomi, le equazioni lineari e quadratiche hanno una forma standard, vediamo quali sono.

Forma standard del polinomio

Il polinomio in forma standard è scritto con gli esponenti in ordine decrescente per rendere più semplici i calcoli. Un polinomio è detto essere nella sua forma standard se è espresso in modo tale che il termine con il grado più alto sia posto per primo, seguito dal termine con il grado successivo più alto e così via. Ci sono due regole molto semplici per scrivere un polinomio in forma standard, sono le seguenti:

Scrivi i termini in ordine decrescente delle loro potenze (anche chiamate esponenti).
Assicurati che il polinomio non contenga termini simili.

Pertanto, la forma standard è anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x1 + a0. Ad esempio, la forma standard dell’equazione y2 + 7y6 – 8y – y9 è scritta come -y9 + 7y6 + y2 – 8y.

Nota: la regola di base per scrivere un polinomio nella sua forma standard è D-U. D sta per Decrescente e U sta per termini diversi.

Forma standard di un’equazione lineare

La forma standard delle equazioni lineari, nota anche come forma generale, è un metodo per scrivere le equazioni lineari. Un’equazione lineare può essere scritta in diverse forme come la forma standard, la forma di intercetta-slope e la forma di punto-slope. La forma standard di un’equazione lineare è espressa in due modi, con una variabile e con due variabili. La forma standard di un’equazione lineare con una variabile è espressa come ax + b = 0 dove a e b sono costanti e la lettera x è la variabile. La forma standard di un’equazione lineare con due variabili è espressa come ax + by = c dove a, b e c sono numeri reali e le lettere x e y sono le variabili. Vediamo l’immagine qui sotto.

Vediamo come convertire le due linee nella forma standard di un’equazione lineare ax + by = c.

Linea 1: x + y = 7 ovvero 1x + 1y = 7. Qui, a = 1, b = 1, c = 7
Linea 2: y = 3x ovvero 3x – 1y = 0. Qui, a = 3, b = -1, c = 0

Quindi, quello che vediamo qui è la forma standard dell’equazione lineare ovvero ax + by = c.

Forma standard della pendenza di una linea

La pendenza di una linea è definita come la variazione della coordinata y rispetto alla variazione della coordinata x di quella linea. Rappresentando una linea geometricamente, usiamo la forma standard di un’equazione lineare (menzionata sopra). Per determinare la pendenza di una linea che è espressa graficamente, l’equazione deve essere convertita in una forma di intercetta-slope. Per farlo, dobbiamo risolvere l’equazione per y, e la forma standard della pendenza è espressa come y = mx + c, dove m è la pendenza della linea. Questa formula è utilizzata quando la linea è retta.

Quando ci sono due punti in un piano, la pendenza può essere definita come il rapporto tra la variazione del valore di y alla variazione del valore di x. La forma standard della pendenza di una linea è espressa come m = (y2 – y1)/(x2 – x1). L’immagine qui sotto rappresenta le coordinate su un grafico.

Forma standard delle equazioni quadratiche

La forma standard dell’equazione quadratica in una variabile x è della forma ax2 + bx + c = 0, dove a ≠ 0, e a, b e c sono numeri reali. Qui, b e c possono essere sia zeri che numeri diversi da zero e

Oltre alla forma standard di un’equazione quadratica, un’equazione quadratica può essere scritta in diverse altre forme.

Forma vertice: a (x – h)2 + k = 0
Forma intercept: a (x – p)(x – q) = 0

Una parabola è il grafico di una funzione quadratica che si riferisce ad un’equazione di una curva, tale che un punto sulla curva sia equidistante da un punto fisso e da una linea fissa. Il punto fisso è chiamato il fuoco della parabola e la linea fissa è chiamata la direttrice della parabola. I grafici seguenti sono due parabole tipiche; i loro punti di intercetta x e y sono contrassegnati da punti verdi e il vertice di ogni parabola è contrassegnato da un punto blu.

Il grafico avrà una delle due forme mostrate sopra.

Quando a > 0, rappresenta la prima parabola (figura 1) che si apre verso l’alto (a forma di U).
Quando a < 0, si ottiene una parabola che si apre verso il basso (a forma di U invertita) come mostrato nella figura 2.

Quando poniamo y = 0 nella precedente equazione, otteniamo l’intercetta x che viene anche chiamata le radici dell’equazione. Trovare le radici ci fornisce il punto di svolta della parabola e la linea verticale che è tracciata dal punto di svolta è chiamata l’asse di simmetria. Guarda l’immagine qui sotto per riferimento.

Formula della forma standard

La formula della forma standard rappresenta la forma standard di un’equazione che è la forma comunemente accettata di un’equazione. La formula per rappresentare la formula della forma standard si basa sul grado delle equazioni.

La forma standard di un’equazione lineare è la forma base di un’equazione. La forma standard di un’equazione lineare con due variabili e più di due variabili è presentata di seguito. Qui x, y, o x1, x2, x3, …. rappresentano le variabili e a, b, a1, a2, a3, …….. an sono indicati come coefficienti. I numeri posti a destra del segno di uguale sono chiamati costanti.

ax + by = c
a1x1 +a2 x2+ a3 x3 + …….. + an xn = D

La forma standard di un’equazione quadratica è un’equazione di secondo grado e ha una variabile, coefficienti e termine costante. Qui è una singola variabile x di grado 2. La forma standard di un’equazione quadratica è ax2 + bx + c = 0, dove a ≠ 0.

Inoltre, abbiamo formule di forma standard per equazioni di gradi superiori. Anche in geometria coordinata, abbiamo una forma standard per diverse rappresentazioni geometriche come una retta, un cerchio, un’ellisse, un’iperbole e una parabola.

Retta: ax + by = c, dove a è un numero intero positivo, e b e c sono numeri interi.
Cerchio: (x – h)2 + (y – k)2 = (r)2, dove (h, k) è il centro e r è il raggio.
Ellisse: x2/a2 + y2/b2 = 1
Iperbole: (x-x0)2/a2 – (y-y0)2/b2 = 1, dove x0, x0 sono i punti centrali, a = semiasse maggiore e b = semiasse minore.
Parabola: (x – h)2 = 4p(y – k)