Equazioni Quadratiche – Formule, Metodi ed Esempi

Le equazioni quadratiche sono espressioni algebriche di secondo grado e hanno la forma ax2 + bx + c = 0. Il termine “quadratico” deriva dalla parola latina “quadratus”, che significa quadrato, poiché la variabile x è elevata al quadrato nell’equazione. In altre parole, un’equazione quadratica è un’ “equazione di grado 2”. Ci sono molti scenari in cui si utilizza un’equazione quadratica. Sai che quando un razzo viene lanciato, il suo percorso è descritto da un’equazione quadratica? Inoltre, un’equazione quadratica ha numerose applicazioni in fisica, ingegneria, astronomia, ecc.

Le equazioni quadratiche hanno un massimo di due soluzioni, che possono essere numeri reali o complessi. Queste due soluzioni (valori di x) sono anche chiamate le radici dell’equazione quadratica e sono designate come (α, β). Approfondiremo ulteriormente le radici di un’equazione quadratica nel contenuto seguente.

Cosa sono le equazioni quadratiche?

Un’equazione quadratica è un’equazione algebrica di secondo grado in x. L’equazione quadratica nella sua forma standard è ax2 + bx + c = 0, dove a e b sono i coefficienti, x è la variabile e c è il termine costante. La condizione importante affinché un’equazione sia un’equazione quadratica è che il coefficiente di x2 sia un termine diverso da zero (a ≠ 0). Per scrivere un’equazione quadratica nella forma standard, il termine x2 viene scritto per primo, seguito dal termine x e infine dal termine costante.

In problemi matematici reali, le equazioni quadratiche vengono presentate in diverse forme: (x – 1) (x + 2) = 0, -x2 = -3x + 1, 5x(x + 3) = 12x, x3 = x(x2 + x – 3). Tutte queste equazioni devono essere trasformate nella forma standard dell’equazione quadratica prima di eseguire ulteriori operazioni.

Forme di Equazioni Quadratiche

Le equazioni quadratiche possono essere presentate in diverse forme, come:

• (x – 1)(x + 2) = 0
• -x2 = -3x + 1
• 5x(x + 3) = 12x
• x3 = x(x2 + x – 3)

Tutte queste forme devono essere trasformate nella forma standard dell’equazione quadratica per poter risolvere il problema.

Radici di un’Equazione Quadratica

Le radici di un’equazione quadratica sono i due valori di x, che si ottengono risolvendo l’equazione quadratica. Queste radici dell’equazione quadratica sono anche chiamate le zeri dell’equazione. Ad esempio, le radici dell’equazione x2 – 3x – 4 = 0 sono x = -1 e x = 4 perché ognuno di essi soddisfa l’equazione. cioè,

• A x = -1, (-1)2 – 3(-1) – 4 = 1 + 3 – 4 = 0
• A x = 4, (4)2 – 3(4) – 4 = 16 – 12 – 4 = 0

Ci sono vari metodi per trovare le radici di un’equazione quadratica. L’utilizzo della formula quadratica è uno di essi.

Formula Quadratica

La formula quadratica è un modo per trovare le radici di un’equazione quadratica nella forma ax2 + bx + c = 0. La formula è:

x = (-b ± √(b2 – 4ac)) / 2a

Dove a, b e c sono i coefficienti dell’equazione.

Esempio

Trovare le radici dell’equazione x2 + 5x + 6 = 0.

Qui, a = 1, b = 5 e c = 6. Sostituendo questi valori nella formula quadratica, abbiamo:

x = (-5 ± √(52 – 4(1)(6))) / 2(1) = (-5 ± √1) / 2

Quindi, le radici dell’equazione sono x = -3 e x = -2.

Formula Quadratica

La formula quadratica è il modo più semplice per trovare le radici di un’equazione quadratica. Ci sono alcune equazioni quadratiche che non possono essere facilmente fattorizzate e qui possiamo comodamente utilizzare questa formula quadratica per trovare le radici nel modo più rapido possibile. Le due radici nella formula quadratica sono presentate come una singola espressione. Il segno positivo e il segno negativo possono essere utilizzati alternativamente per ottenere le due radici distinte dell’equazione.

Formula Quadratica

Le radici di un’equazione quadratica ax2 + bx + c = 0 sono date da x = [-b ± √(b2 – 4ac)]/2a.

Questa formula è anche conosciuta come la formula di Sridharacharya.

Esempio

Troviamo le radici della stessa equazione menzionata nella sezione precedente x2 – 3x – 4 = 0 utilizzando la formula quadratica.

a = 1, b = -3 e c = -4.

x = [-b ± √(b2 – 4ac)]/2a

= [-(-3) ± √((-3)2 – 4(1)(-4))]/2(1)

= [3 ± √25] / 2

= [3 ± 5] / 2

= (3 + 5)/2 o (3 – 5)/2

= 8/2 o -2/2

= 4 o -1 sono le radici.

Dimostrazione della Formula Quadratica

Consideriamo un’equazione quadratica arbitraria: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0

Per determinare le radici di questa equazione, procediamo come segue:

ax2 + bx = -c ⇒ x2 + bx/a = -c/a

Ora, esprimiamo il lato sinistro come un quadrato perfetto, introducendo un nuovo termine (b/2a)2 su entrambi i lati:

x2+ bx/a + (b/2a)2 = -c/a + (b/2a)2

Il lato sinistro è ora un quadrato perfetto:

(x + b/2a)2 = -c/a + b2/4a2 ⇒ (x + b/2a)2 = (b2 – 4ac)/4a2

Questo è buono per noi, perché ora possiamo prendere la radice quadrata per ottenere:

x + b/2a = ±√(b2 – 4ac)/2a

x = (-b ± √(b2 – 4ac))/2a

Così, completando i quadrati, siamo stati in grado di isolare x e ottenere le due radici dell’equazione.

Natura delle Radici dell’Equazione Quadratica

Le radici di un’equazione quadratica sono di solito rappresentate dai simboli alpha (α) e beta (β). Qui impareremo di più su come trovare la natura delle radici di un’equazione quadratica senza trovare effettivamente le radici dell’equazione.

Discriminante

La natura delle radici di un’equazione quadratica può essere trovata senza trovare effettivamente le radici (α, β) dell’equazione. Questo è possibile prendendo il valore del discriminante, che fa parte della formula per risolvere l’equazione quadratica. Il valore b2 – 4ac è chiamato discriminante di un’equazione quadratica e viene designato come ‘D’. In base al valore del discriminante, è possibile prevedere la natura delle radici dell’equazione quadratica.

• D > 0, le radici sono reali e distinte
• D = 0, le radici sono reali e uguali
• D < 0, le radici non esistono o sono immaginarie

Somma e Prodotto delle Radici dell’Equazione Quadratica

I coefficienti del termine x2, del termine x e del termine costante dell’equazione quadratica ax2 + bx + c = 0 sono utili per determinare la somma e il prodotto delle radici dell’equazione quadratica. La somma e il prodotto delle radici di un’equazione quadratica possono essere calcolati direttamente dall’equazione, senza trovare effettivamente le radici dell’equazione quadratica.

Per un’equazione quadratica ax2 + bx + c = 0, la somma e il prodotto delle radici sono le seguenti:

• Somma delle Radici: α + β = -b/a = – Coefficiente di x / Coefficiente di x2
• Prodotto delle Radici: αβ = c/a = Termine Costante / Coefficiente di x2

Scrivere Equazioni Quadratiche Utilizzando le Radici

L’equazione quadratica può anche essere formata per le radici date dell’equazione. Se α, β sono le radici dell’equazione quadratica, allora l’equazione quadratica è la seguente.

x2 – (α + β)x + αβ = 0

Esempio

Qual è l’equazione quadratica le cui radici sono 4 e -1?

Soluzione: è dato che α = 4 e β = -1. L’equazione quadratica corrispondente si trova da:

x2 – (α + β)x + αβ = 0

x2 – (α + β)x + αβ = 0

x2 – (4 – 1)x + (4)(-1) = 0

x2 – 3x – 4 = 0

Formule Relative alle Equazioni Quadratiche

L’elenco seguente di importanti formule è utile per risolvere le equazioni quadratiche.

Equazione Quadratica nella sua Forma Standard

L’equazione quadratica nella sua forma standard è ax2 + bx + c = 0.

Discriminante

Il discriminante dell’equazione quadratica è D = b2 – 4ac.

• Per D > 0, le radici sono reali e distinte.
• Per D = 0, le radici sono reali e uguali.
• Per D < 0, le radici reali non esistono o sono immaginarie.

Formula per Trovare le Radici dell’Equazione Quadratica

La formula per trovare le radici dell’equazione quadratica è x = [-b ± √(b2 – 4ac)]/2a.

Somma e Prodotto delle Radici dell’Equazione Quadratica

• Somma delle Radici: α + β = -b/a
• Prodotto delle Radici: αβ = c/a

Equazione Quadratica con Radici α, β

L’equazione quadratica le cui radici sono α, β, è x2 – (α + β)x + αβ = 0.

Condizione per le Equazioni Quadratiche con le Stesse Radici

La condizione perché le equazioni quadratiche a1x2 + b1x + c1 = 0 e a2x2 + b2x + c2 = 0 abbiano le stesse radici è (a1b2 – a2b1) (b1c2 – b2c1) = (a2c1 – a1c2)2.

Valore Minimo e Massimo dell’Espressione Quadratica

• Quando a > 0, l’espressione quadratica f(x) = ax2 + bx + c ha un valore minimo in x = -b/2a.
• Quando a < 0, l’espressione quadratica f(x) = ax2 + bx + c ha un valore massimo in x = -b/2a.

Dominio di una Funzione Quadratica

Il dominio di qualsiasi funzione quadratica è l’insieme di tutti i numeri reali.

Metodi per Risolvere le Equazioni Quadratiche

Un’equazione quadratica può essere risolta per ottenere due valori di x o le due radici dell’equazione. Esistono quattro diversi metodi per trovare le radici dell’equazione quadratica. I quattro metodi per risolvere le equazioni quadratiche sono i seguenti.

1. Fattorizzazione dell’Equazione Quadratica

Il primo metodo per risolvere un’equazione quadratica è la fattorizzazione dell’equazione.

2. Formula Quadratica

Il secondo metodo per risolvere un’equazione quadratica è l’uso della formula quadratica che abbiamo già visto.

3. Metodo del Completamento del Quadrato

Il terzo metodo per risolvere un’equazione quadratica è il metodo del completamento del quadrato.

4. Metodo del Grafico per Trovare le Radici

Il quarto metodo per risolvere un’equazione quadratica è il metodo del grafico per trovare le radici.

Vediamo in dettaglio ciascuno dei metodi sopra elencati per capire come utilizzarli, le loro applicazioni e i loro usi.

Risoluzione delle Equazioni Quadratiche per Fattorizzazione

La fattorizzazione dell’equazione quadratica segue una sequenza di passaggi. Per una forma generale dell’equazione quadratica ax2 + bx + c = 0, dobbiamo prima suddividere il termine medio in due termini, in modo che il prodotto dei termini sia uguale al termine costante. Inoltre, possiamo prendere i termini comuni dal termine disponibile, per ottenere infine i fattori richiesti come segue:

x2 + (a + b)x + ab = 0
x2 + ax + bx + ab = 0
x(x + a) + b(x + a)
(x + a)(x + b) = 0

Ecco un esempio per capire il processo di fattorizzazione.

x2 + 5x + 6 = 0
x2 + 2x + 3x + 6 = 0
x(x + 2) + 3(x + 2) = 0
(x + 2)(x + 3) = 0

Quindi i due fattori ottenuti dell’equazione quadratica sono (x + 2) e (x + 3). Per trovare le sue radici, impostiamo ogni fattore a zero e risolviamo per x. cioè, x + 2 = 0 e x + 3 = 0 che dà x = -2 e x = -3. Quindi, x = -2 e x = -3 sono le radici di x2 + 5x + 6 = 0.

Inoltre, c’è un altro importante metodo per risolvere un’equazione quadratica. Il metodo del completamento del quadrato per un’equazione quadratica è anche utile per trovare le radici dell’equazione.

Metodo del Completamento del Quadrato

Introduzione

Il metodo del completamento del quadrato in un’equazione quadratica consiste nell’algebricamente quadrare e semplificare, per ottenere le radici dell’equazione. Consideriamo un’equazione quadratica ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0. Per determinare le radici di questa equazione, la semplifichiamo nel seguente modo:

Il Processo

ax2 + bx + c = 0
ax2 + bx = -c
x2 + bx/a = -c/a

Ora, esprimiamo il lato sinistro come quadrato perfetto, introducendo un nuovo termine (b/2a)2 su entrambi i lati:

x2 + bx/a + (b/2a)2 = -c/a + (b/2a)2

(x + b/2a)2 = -c/a + b2/4a2
(x + b/2a)2 = (b2 – 4ac)/4a2
x + b/2a = +√(b2- 4ac)/2a
x = – b/2a +√(b2- 4ac)/2a
x = [-b ± √(b2 – 4ac)]/2a

Qui il segno ‘+’ fornisce una radice e il segno ‘-‘ fornisce l’altra radice dell’equazione quadratica. In genere, questo metodo dettagliato viene evitato, e viene usata solo la formula quadratica per ottenere le radici necessarie.

Realizzazione del grafico di un’equazione quadratica

Nella matematica, il grafico dell’equazione quadratica ax2 + bx + c = 0 può essere ottenuto rappresentando l’equazione quadratica come una funzione y = ax2 + bx + c. Inoltre, risolvendo e sostituendo i valori di x, si possono ottenere valori di y e quindi numerosi punti. Questi punti possono essere presentati sull’asse delle coordinate per ottenere un grafico a forma di parabola per l’equazione quadratica. Per informazioni dettagliate sulla realizzazione del grafico di una funzione quadratica, fare clic qui.

Punti di intersezione sull’asse x

I punti in cui il grafico interseca l’asse x (tipicamente gli intercetti x) rappresentano la soluzione dell’equazione quadratica. Questi punti possono anche essere ottenuti algebraicamente uguagliando il valore di y a 0 nella funzione y = ax2 + bx + c e risolvendo per x.

Equazioni quadratiche con radici comuni

Consideriamo due equazioni quadratiche con radici comuni a1x2 + b1x + c1 = 0 e a2x2 + b2x + c2 = 0. Risolviamo queste due equazioni per trovare le condizioni perché queste equazioni abbiano una radice comune. Le due equazioni sono risolte per x2 e x, rispettivamente.

Risoluzione delle due equazioni quadratiche

(x2)(b1c2 – b2c1) = (-x)/(a1c2 – a2c1) = 1/(a1b2 – a2b1)

x2 = (b1c2 – b2c1) / (a1b2 – a2b1)

x = (a2c1 – a1c2) / (a1b2 – a2b1)

Di conseguenza, semplificando le due espressioni precedenti, abbiamo la seguente condizione perché le due equazioni abbiano una radice comune:

Condizione per le equazioni quadratiche con radici comuni

(a1b2 – a2b1) (b1c2 – b2c1) = (a2c1 – a1c2)2

Valore massimo e minimo di un’equazione quadratica

I valori massimo e minimo della funzione quadratica F(x) = ax2 + bx + c possono essere osservati nei grafici seguenti. Per valori positivi di a (a > 0), l’espressione quadratica ha un valore minimo in x = -b/2a, e per valori negativi di a (a < 0), l’espressione quadratica ha un valore massimo in x = -b/2a. x = -b/2a è la coordinata x del vertice della parabola.

Valore massimo e minimo della funzione quadratica

I valori massimo e minimo dell’espressione quadratica sono di ulteriore aiuto per trovare l’intervallo dell’espressione quadratica: l’intervallo dell’espressione quadratica dipende anche dal valore di a. Per valori positivi di a (a > 0), l’intervallo è [F(-b/2a), ∞), e per valori negativi di a (a < 0), l’intervallo è (-∞, F(-b/2a)].

Per a > 0, Intervallo: [f(-b/2a), ∞)

Per a < 0, Intervallo: (-∞, f(-b/2a)]

Si noti che il dominio di una funzione quadratica è l’insieme di tutti i numeri reali, ovvero (-∞, ∞).

Suggerimenti e trucchi per le equazioni quadratiche

Alcuni dei suggerimenti e trucchi seguenti sulle equazioni quadratiche sono utili per risolvere più facilmente le equazioni quadratiche.

• Le equazioni quadratiche sono generalmente risolte attraverso la fattorizzazione. Ma in alcune istanze in cui non possono essere risolte per fattorizzazione, viene utilizzata la formula quadratica.
• Le radici di un’equazione quadratica sono anche chiamate zeri dell’equazione.
• Per le equazioni quadratiche che hanno valori di discriminante negativi, le radici sono rappresentate da numeri complessi.
• La somma e il prodotto delle radici di un’equazione quadratica possono essere utilizzati per trovare espressioni algebriche superiori che coinvolgono queste radici.

Definizione di equazione quadratica

In matematica, un’equazione quadratica è un’equazione di secondo grado della forma ax2 + bx + c = 0. Qui a e b sono i coefficienti, c è il termine costante e x è la variabile. Poiché la variabile x è di secondo grado, ci sono due radici o soluzioni per questa equazione quadratica. Le radici dell’equazione quadratica possono essere trovate risolvendo per fattorizzazione o attraverso l’uso della formula quadratica.

Formula quadratica

La formula quadratica per risolvere l’equazione ax2 + bx + c = 0 è x = [-b ± √(b2 – 4ac)]/2a. Qui si ottengono i due valori di x, applicando i simboli più e meno in questa formula. Pertanto, i due possibili valori di x sono [-b + √(b2 – 4ac)]/2a e [-b – √(b2 – 4ac)]/2a.

Come risolvere un’equazione quadratica?

Ci sono diversi metodi per risolvere le equazioni quadratiche, ma i più comuni sono la fattorizzazione, l’uso della formula quadratica e il completamento del quadrato.

• La fattorizzazione consiste nel trovare due numeri che moltiplicati tra loro danno come risultato il termine costante, c, e sommati tra loro danno come risultato il coefficiente di x, b.
• La formula quadratica viene utilizzata quando la fattorizzazione non è possibile ed è data da x = [-b ± √(b2 – 4ac)]/2a.
• Il completamento del quadrato consiste nel riscrivere l’equazione quadratica in una forma diversa che permette di risolvere facilmente per x.

Discriminante nella formula quadratica

Il valore b2 – 4ac viene chiamato discriminante e viene designato come D. Il discriminante fa parte della formula quadratica. I discriminanti ci aiutano a trovare la natura delle radici dell’equazione quadratica, senza trovare effettivamente le radici dell’equazione quadratica.

Quali sono alcune applicazioni della equazioni quadratiche nella vita reale?

Le equazioni quadratiche sono utilizzate per trovare gli zeri della parabola e il suo asse di simmetria. Ci sono molte applicazioni delle equazioni quadratiche nel mondo reale.

• Possono essere utilizzate nei problemi di tempo di esecuzione per valutare la velocità, la distanza o il tempo durante i viaggi in auto, treno o aereo.
• Le equazioni quadratiche descrivono la relazione tra la quantità e il prezzo di una merce.
• In modo simile, i calcoli di domanda e costo sono considerati problemi di equazioni quadratiche.
• Si noti anche che un’antenna parabolica o un telescopio riflettore hanno una forma definita da un’equazione quadratica.

Come sono diverse le equazioni quadratiche rispetto alle equazioni lineari?

Un’equazione lineare è un’equazione di grado singolo e una variabile, mentre un’equazione quadratica è un’equazione di due gradi e una singola variabile. Un’equazione lineare è della forma ax + b = 0 e un’equazione quadratica è della forma ax2 + bx + c = 0. Un’equazione lineare ha una singola radice e un’equazione quadratica ha due radici o due soluzioni. Inoltre, un’equazione quadratica è il prodotto di due equazioni lineari.

Quali sono i 4 modi per risolvere un’equazione quadratica?

I quattro modi per risolvere un’equazione quadratica sono i seguenti.

• Metodo di fattorizzazione
• Formula delle radici dell’equazione quadratica
• Metodo di completamento del quadrato
• Metodo del grafico

Come risolvere un’equazione quadratica attraverso il completamento del quadrato?

L’equazione quadratica viene risolta mediante il metodo del completamento del quadrato e utilizza la formula (a + b)^2 = a2 + 2ab + b2 (oppure) (a – b)^2 = a2 – 2ab + b2.

Come trovare il valore del discriminante?

Il valore del discriminante in un’equazione quadratica può essere trovato dalle variabili e dai termini costanti della forma standard dell’equazione quadratica ax2 + bx + c = 0. Il valore del discriminante è D = b2 – 4ac e aiuta a prevedere la natura delle radici dell’equazione quadratica, senza trovare effettivamente le radici dell’equazione.

Come risolvere le equazioni quadratiche con il metodo del grafico?

L’equazione quadratica può essere risolta in modo simile a una equazione lineare mediante il grafico. Prendiamo l’equazione quadratica ax2 + bx + c = 0 come y = ax2 + bx + c. Qui prendiamo l’insieme di valori di x e y e tracciamo il grafico. I due punti in cui questo grafico incontra l’asse x sono le soluzioni di questa equazione quadratica.

Quanto è importante il discriminante di una equazione quadratica?

Il discriminante è molto importante per trovare facilmente la natura delle radici dell’equazione quadratica. Senza il discriminante, trovare la natura delle radici dell’equazione è un processo lungo, poiché prima dobbiamo risolvere l’equazione per trovare entrambe le radici. Pertanto, il discriminante è una quantità importante e necessaria, che aiuta a trovare facilmente la natura delle radici dell’equazione quadratica.

Dove posso trovare un risolutore di equazioni quadratiche?

Per ottenere il risolutore di equazioni quadratiche, clicca qui. Qui possiamo inserire i valori di a, b e c per l’equazione quadratica ax2 + bx + c = 0, quindi ci darà le radici insieme a una procedura passo passo.

Qual è l’uso dei discriminanti nella formula quadratica?

Il discriminante (D = b2 – 4ac) è utile per prevedere la natura delle radici dell’equazione quadratica. Per D > 0, le radici sono reali e distinte, per D = 0 le radici sono reali e uguali e per D < 0, le radici non esistono o le radici sono numeri immaginari complessi. Con l’aiuto di questo discriminante e con il minor numero di calcoli, possiamo trovare la natura delle radici dell’equazione quadratica.

Come risolvere un’equazione quadratica senza utilizzare la formula quadratica?

Ci sono due metodi alternativi alla formula quadratica. Un metodo è quello di risolvere l’equazione quadratica attraverso la fattorizzazione e un altro metodo è attraverso il completamento del quadrato. In totale ci sono tre metodi per trovare le radici di un’equazione quadratica.

Come derivare la formula quadratica?

La formula algebrica (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 viene utilizzata per risolvere l’equazione quadratica e derivare la formula quadratica. Questa formula algebrica viene utilizzata per manipolare l’equazione quadratica e derivare la formula quadratica per trovare le radici dell’equazione.

Fonte di riferimento: https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_secondo_grado