La distanza tra due punti è la lunghezza del segmento di linea che connette i due punti dati. In geometria delle coordinate, la distanza tra due punti può essere calcolata trovando la lunghezza del segmento di linea che unisce le coordinate date.
La distanza tra due punti in geometria delle coordinate è calcolata mediante la formula √[(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2], dove (x1, y1) e (x2, y2) sono due punti sul piano di coordinate. Cerchiamo di comprendere la formula per trovare la distanza tra due punti in un piano bidimensionale e tridimensionale.
Cosa è la Distanza Tra Due Punti?
La distanza tra due punti è la lunghezza del segmento di linea che li unisce. Esiste solo una linea che passa attraverso due punti, quindi la distanza tra due punti può essere calcolata trovando la lunghezza di questo segmento di linea che collega i due punti. Ad esempio, se A e B sono due punti e se \(\overline{AB}\) = 10 cm, significa che la distanza tra A e B è di 10 cm. La distanza tra due punti è la lunghezza del segmento di linea che li unisce (ma NON può essere la lunghezza della curva che li unisce). Notare che la distanza tra due punti è sempre positiva.
Formula Distanza Tra Due Punti
La distanza tra due punti con le coordinate date può essere calcolata applicando la formula della distanza. Per qualsiasi punto dato nel piano 2D, possiamo applicare la formula della distanza 2D o la formula della distanza euclidea, data come:
La formula per la distanza tra due punti (d) le cui coordinate sono (x1,y1) e (x2, y2) è: d = √[(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2]. Questa è nota anche come la Formula della Distanza Euclidea.
Per trovare la distanza tra i punti con le coordinate (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) date in un piano 3D, possiamo applicare la formula della distanza 3D, data come:
d = √[(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2]
Come Derivare la Formula della Distanza Tra Due Punti
Per derivare la formula della distanza tra due punti in un piano 2D o 3D, possiamo utilizzare il Teorema di Pitagora. Consideriamo un triangolo con due lati di lunghezza \(a\) e \(b\) e l’ipotenusa di lunghezza \(c\). Il teorema di Pitagora afferma che \(a^{2} + b^{2} = c^{2}\). Questo teorema può essere utilizzato per derivare la formula della distanza tra due punti usando le coordinate dei punti. La derivazione completa della formula richiede l’uso del Teorema di Pitagora in un piano 2D o 3D.
Derivazione della Formula per la Distanza Tra Due Punti di Coordinate
Per derivare la formula per calcolare la distanza tra due punti in un piano bidimensionale, supponiamo che ci siano due punti con le coordinate date come, A(x1, y1) e B(x2, y2). Successivamente, supponiamo che il segmento di linea che unisce A e B sia \(\overline{AB}\) = d. Ora, rappresentiamo i punti dati sul piano di coordinate e li uniamo con una linea.
Successivamente, costruiamo un triangolo rettangolo con \(\overline{AB}\) come ipotenusa.
Applicando il teorema di Pitagora per il △ABC:
AB2 = AC2 + BC2
d2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 (Valori dalla figura)
Qui, la distanza verticale tra i punti dati è |y2 − y1|.
La distanza orizzontale tra i punti dati è |x2 − x1|.
d = √[(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2] (Applicando la radice quadrata su entrambi i lati)
In questo modo, la formula della distanza per trovare la distanza tra due punti è dimostrata.
Nota: Nel caso in cui i due punti A e B siano sull’asse x, ovvero le coordinate di A e B siano rispettivamente (x1, 0) e (x2, 0), la distanza tra due punti AB = |x2 − x1|.
Utilizzando passaggi e concetti simili, possiamo anche derivare la formula per trovare la distanza tra due punti dati in un piano 3D.
Come Trovare la Distanza Tra Due Punti di Coordinate?
La distanza tra due punti utilizzando le coordinate date può essere calcolata seguendo i seguenti passaggi:
- Prendere nota delle coordinate dei due punti dati sul piano di coordinate come, A(x1, y1) e B(x2, y2).
- Possiamo applicare la formula della distanza per trovare la distanza tra i due punti, d = √[(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2].
- Esprimere la risposta data in unità.
Nota: Possiamo applicare la formula della distanza 3D nel caso in cui i due punti siano dati in un piano 3D, d = √[(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2].
Esempio: Trovare la distanza tra i punti con le coordinate date come, A = (1, 2) e B = (1, 5).
Soluzione:
La distanza tra due punti utilizzando le coordinate può essere data come, d = √[(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2], dove (x1, y1) e (x2, y2) sono le coordinate dei due punti.
⇒ d = √[(1 − 1)2 + (5 − 2)2]
⇒ d = 3 unità
Dall’esempio sopra, possiamo anche osservare che quando le coordinate x dei punti dati sono uguali (ovvero quando i punti si trovano su una linea verticale), possiamo trovare la distanza tra i due punti trovando il valore assoluto della differenza tra le coordinate y.
In modo analogo, la distanza tra due punti che giacciono su una linea orizzontale è il valore assoluto della differenza tra le loro coordinate x.
Distanza Tra Due Punti nel Piano Complesso
La distanza tra due punti in un piano complesso viene trovata utilizzando una formula simile alla formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano. Consideriamo due numeri complessi z1 = a + ib e z2 = c + id. Ricordiamo il fatto che ogni numero complesso in un piano complesso corrisponde a un punto nel piano di coordinate. Quindi la distanza tra i due numeri complessi z1 e z2 è:
|z1 − z2| = √[(a − c)2 + (b − d)2]
Qui |z1 − z2| è il valore assoluto del numero complesso z1 − z2.
Esempio: Trovare la distanza tra i numeri complessi z1 = 1 + 3i e z2 = 2 – 4i.
Soluzione:
I punti che indicano i numeri complessi dati sono (1, 3) e (2, -4). Quindi la distanza tra di loro è:
|z1 − z2| = √[(1 – 2)2 + (3 + 4)2 = √(1 + 49) = √50 = 5√2 unità
Note importanti sulla Distanza Tra Due Punti:
- La distanza, d, tra due punti le cui coordinate sono (x1,y1) e (x2, y2) è: d = √[(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2]
- Notiamo che non c’è alcun danno nell’interscambiare i valori x1 e x2 in questa formula perché (x2 – x1)2 è lo stesso di (x1 – x2)2. La stessa cosa vale anche per le coordinate y. Quindi, la distanza tra due punti può essere scritta anche come √[(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2].
- La distanza di un punto (a, b) da:
- (i) asse x è |b|.
- (ii) asse y è |a|.
Cosa Si Intende per Distanza Tra Due Punti?
La distanza tra due punti è definita come la lunghezza della linea retta che collega questi punti nel piano di coordinate. Questa distanza non può mai essere negativa, quindi prendiamo il valore assoluto mentre troviamo la distanza tra due punti dati. Viene calcolata dalla formula √[(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2].
Qual è la Formula della Distanza per Trovare la Distanza Tra Due Punti in Geometria di Coordinate?
In geometria di coordinate, la formula della distanza tra due punti è data da, d = √[(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2], dove (x1, y1), (x2, y2) sono le coordinate dei due punti. Possiamo applicare un’altra formula se i punti dati si trovano in un piano 3D, d = √[(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2], dove ‘d’ è la distanza tra i due punti e (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) sono le coordinate dei due punti.
Come Calcoliamo la Distanza Tra Due Punti in Geometria?
La distanza tra qualsiasi due punti dati in un piano bidimensionale può essere calcolata utilizzando le loro coordinate. Per calcolare la distanza tra due coordinate A(x1, y1) e B(x2, y2) usiamo la formula, d = √[(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2].
Come Calcolare la Distanza Tra Due Punti?
La distanza tra due punti può essere calcolata seguendo i seguenti passaggi,
- Denotare i punti dati come (x1, y1) e (x2, y2).
- Applicare la formula della distanza euclidea, distanza, d = √[(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2]
- Semplificare la radice quadrata.
Qual è la Distanza Più Breve Tra Due Punti?
La distanza più breve tra due punti può essere calcolata trovando la lunghezza del segmento di linea che collega entrambi i punti. Possiamo applicare la formula della distanza per trovare questa distanza a seconda delle coordinate date in un piano bidimensionale o tridimensionale.
Come Trovare la Distanza Tra Due Punti Usando il Teorema di Pitagora?
La distanza tra due punti nel piano cartesiano può essere calcolata applicando il teorema di Pitagora.
- Possiamo formare un triangolo rettangolo utilizzando la linea che unisce i due punti dati come ipotenusa.
- Qui la base e il perpendicolare saranno le linee parallele all’asse x e all’asse y con un’estremità come uno dei punti dati e l’altra estremità come il loro punto di intersezione.
- Utilizzando il teorema di Pitagora, (ipotenusa)2 = (base)2 + (perpendicolare)2.
- Prendendo la radice quadrata su entrambi i lati possiamo trovare la lunghezza dell’ipotenusa con l’aiuto delle coordinate date di due punti. Questa lunghezza è uguale alla distanza tra i due punti.
Come Trovare la Distanza Tra Due Punti in un Piano 3D?
Per calcolare la distanza tra due punti in un piano tridimensionale, possiamo applicare la formula della distanza in 3D data come, d = √[(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2], dove ‘d’ è la distanza tra i due punti e (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) sono le coordinate dei due punti.
Come derivare la formula per trovare la distanza tra due punti?
Per derivare la formula per trovare la distanza tra due punti, possiamo applicare il teorema di Pitagora. Possiamo prendere la linea che unisce i due punti come l’ipotenusa di un triangolo rettangolo formato nel piano cartesiano. La lunghezza dell’ipotenusa può essere calcolata utilizzando il teorema di Pitagora e le coordinate date dei due punti per derivare la formula per la distanza tra due punti.
Come trovare la distanza verticale tra due punti?
La distanza verticale tra due punti può essere trovata calcolando la differenza delle coordinate y dei due punti, cioè, la distanza verticale tra due punti, dy = |y2 – y1|, dove (x1, y1), (x2, y2) sono le coordinate dei due punti.
