La deviazione standard è la radice quadrata positiva della varianza ed è uno dei metodi fondamentali dell’analisi statistica. La deviazione standard è comunemente abbreviata come SD e indicata dal simbolo ‘σ’ e ci informa su quanto i valori dei dati si discostano dal valore medio. Se otteniamo una bassa deviazione standard, significa che i valori tendono ad essere vicini al valore medio, mentre una deviazione standard elevata ci indica che i valori sono lontani dal valore medio.
Esistono formule separate per calcolare la deviazione standard dei dati raggruppati e non raggruppati. Inoltre, abbiamo diverse formule per il calcolo della deviazione standard per una variabile casuale. Analizziamo tutte le formule in dettaglio.
Che cos’è la deviazione standard?
La deviazione standard è il grado di dispersione o la distribuzione dei punti dati rispetto alla loro media, nella statistica descrittiva. Essa ci dice come i valori sono distribuiti nel campione di dati ed è la misura della variazione dei punti dati rispetto alla media. La deviazione standard di un insieme di dati, campione, popolazione statistica, variabile casuale o distribuzione di probabilità è la radice quadrata della sua varianza.
Come calcoliamo la deviazione standard?
Quando abbiamo n osservazioni e le osservazioni sono \(x_1, x_2, …..x_n\), la deviazione media del valore dalla media viene determinata come \(\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}\). Tuttavia, la somma dei quadrati delle deviazioni dalla media non sembra essere una misura adeguata di dispersione. Se la media delle differenze quadrate dalla media è piccola, indica che le osservazioni \(x_i\) sono vicine alla media \(\bar x\). Questo è un grado inferiore di dispersione. Se questa somma è grande, indica che c’è un grado maggiore di dispersione delle osservazioni dalla media \(\bar x\). Concludiamo quindi che \(\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}\) è un indicatore ragionevole del grado di dispersione o distribuzione.
Pertanto, prendiamo \(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}\) come una misura adeguata di dispersione e questa è chiamata varianza(σ2). La radice quadrata positiva della varianza è la deviazione standard.
Conclusioni
La deviazione standard è una misura importante della variabilità dei dati. È utilizzata in molti campi come la statistica, la finanza, la scienza e l’ingegneria. Una deviazione standard più alta indica una maggiore variabilità dei dati, mentre una deviazione standard più bassa indica una minore variabilità. Pertanto, la deviazione standard è un’importante misura descrittiva che ci aiuta a capire la distribuzione dei dati.
Formula della deviazione standard
La diffusione dei dati statistici viene misurata dalla deviazione standard. Il grado di dispersione viene calcolato mediante il metodo di stimare la deviazione dei punti dati. È possibile leggere la dispersione nelle statistiche di sintesi. Come discusso, la varianza dell’insieme di dati è la distanza quadrata media tra il valore medio e ciascun valore dei dati. E la deviazione standard definisce la diffusione dei valori dei dati intorno alla media. Ecco due formule per la deviazione standard utilizzate per trovare la deviazione standard dei dati del campione e la deviazione standard della popolazione data.
Formula per il calcolo della deviazione standard
Note che entrambe le formule sono quasi simili, tranne per il denominatore che è N nel caso della deviazione standard della popolazione, ma n-1 nel caso della deviazione standard del campione. Nel calcolo della media campionaria, tutti i valori dei dati nella popolazione non sono considerati, quindi la media campionaria è solo una stima della media della popolazione, ma ciò introduce una certa incertezza o un bias nel nostro calcolo della deviazione standard. Per correggere questo, il denominatore della deviazione standard campionaria viene corretto per essere n-1 anziché solo n. Questo è noto come correzione di Bessel.
Formula per il calcolo della deviazione standard della popolazione
Esistono due tipi di insiemi di dati: popolazioni e campioni. Una popolazione è l’intero gruppo che ci interessa studiare, mentre un campione è un gruppo più piccolo di individui prelevati dalla popolazione. Le formule per calcolare le deviazioni standard della popolazione e del campione differiscono leggermente.
La formula della deviazione standard della popolazione è la seguente:
(\sigma=\sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}})
Dove,
σ = Simbolo della deviazione standard della popolazione
μ = Media della popolazione
N = Numero totale di osservazioni
Formula per il calcolo della deviazione standard del campione
Analogamente, la formula della deviazione standard del campione è:
(s=\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}})
Dove,
s = Simbolo della deviazione standard del campione
(\bar x) = Media aritmetica delle osservazioni
n = Numero totale di osservazioni
Conclusioni
La deviazione standard è un’importante misura di variabilità dei dati e utilizzata in molti campi come la statistica, la finanza, la scienza e l’ingegneria. È importante conoscere le formule per calcolare la deviazione standard della popolazione e del campione per analizzare i
Come calcolare la deviazione standard?
In generale, la deviazione standard si riferisce alla deviazione standard della popolazione e qui ci sono i passaggi per calcolare la deviazione standard di un insieme di valori dati:
1. Trovare la media
Trovare la media, che è la media aritmetica delle osservazioni.
2. Trovare le differenze quadrate dalla media
Trovare le differenze quadrate dalla media. (Valore dei dati – media)2
3. Trovare la media delle differenze quadrate
Trovare la media delle differenze quadrate. (Varianza = somma delle differenze quadrate ÷ numero di osservazioni)
4. Trovare la radice quadrata della varianza
Trovare la radice quadrata della varianza. (Deviazione standard = √Varianza)
Conclusioni
Il calcolo della deviazione standard è un’operazione importante in statistica e ci aiuta a comprendere la distribuzione dei dati e la loro variabilità. Conoscere come calcolare la deviazione standard ci consente di analizzare e interpretare meglio i dati in molti campi come la finanza, la scienza e l’ingegneria.
Deviazione standard di dati non raggruppati
Il calcolo della deviazione standard varia per i diversi tipi di dati. La distribuzione misura la deviazione dei dati dalla loro media o posizione media. Esistono tre metodi per trovare la deviazione standard:
- Metodo della media effettiva
- Metodo della media supposta
- Metodo della deviazione a gradino
Deviazione standard con il metodo della media effettiva
In questo metodo, calcoliamo prima la media dei valori dei dati (\(\bar x\)) e quindi calcoliamo le deviazioni di ciascun valore dei dati dalla media. Quindi usiamo la seguente formula di deviazione standard mediante il metodo della media effettiva:
σ = √(∑\((x-\bar x)\)2 /n), dove n = numero totale di osservazioni.
Consideriamo le osservazioni di dati 3, 2, 5, 6. Qui la media di questi punti dati è (3 + 2 + 5 + 6)/4 = 16/4 = 4.
La somma delle differenze quadrate dalla media = (4-3)2+(2-4)2 +(5-4)2 +(6-4)2 = 10
Varianza = Differenze quadrate dalla media / numero di punti dati = 10/4 = 2,5
Deviazione standard = √2,5 = 1,58
Deviazione standard con il metodo della media supposta
Quando i valori dei dati x sono grandi, viene scelto un valore arbitrario (A) come media (poiché il calcolo della media è difficile in questo caso). Viene calcolata la deviazione da questa media supposta come d = x – A. Quindi la formula della deviazione standard mediante la media supposta è:
σ = √[(∑(d)2 /n) – (∑d/n)2]
Deviazione standard con il metodo della deviazione a gradino
La deviazione standard dei dati raggruppati può essere calcolata anche mediante il “metodo della deviazione a gradino”. In questo metodo, viene scelto un valore arbitrario come media supposta, A. Quindi calcoliamo le deviazioni di tutti i valori dei dati usando d = x – A. Il passaggio successivo consiste nel calcolare le deviazioni a gradino (d’) usando d’ = d/i dove ‘i’ è un fattore comune a tutti i valori di ‘d’ (scegliere qualsiasi fattore comune in caso di più fattori). Ora, la deviazione standard dei dati non raggruppati mediante il metodo della deviazione a gradino viene trovata dalla formula:
σ = √[(∑(d’)2 /n) – (∑d’/n)2] × i, dove ‘n’ è il numero totale di valori dei dati.
Conclusioni
Deviazione standard dei dati raggruppati (discreti)
Quando i punti dati sono raggruppati, prima costruiamo una distribuzione di frequenza. Come per i dati non raggruppati, la deviazione standard dei dati raggruppati può essere calcolata utilizzando 3 metodi: metodo della media effettiva, metodo della media supposta e metodo della deviazione a gradino. Esaminiamo ciascuno di questi metodi.
Deviazione standard dei dati discreti mediante il metodo della media effettiva
Per n osservazioni, \(x_1, x_2, …..x_n\), e le relative frequenze, \(f_1, f_2, f_3, …f_n\), la deviazione standard è:
σ = √[(1/n) ∑\(_{i=1}^{n}\)f\(_i\) (x\(_i\) – \(\bar x\))\(^2\)], dove
n = frequenza totale = \(\sum_{i=1}^{n}f_i\)
\(\bar x\) = media
Esempio: Calcoliamo la deviazione standard per i dati riportati di seguito:
Calcolo della deviazione standard di dati discreti
Metodo della media effettiva
Per un insieme di dati discreti con frequenze associate, si può calcolare la deviazione standard tramite il metodo della media effettiva. La formula è:
\(\sigma=\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}f_i \left(x_{i}-\bar x\right)^{2}}\), dove
- n = frequenza totale = \(\sum_{i=1}^{n}f_i\)
- \(\bar x\) = media
Per esempio, consideriamo i seguenti dati:
| xi | 6 | 10 | 12 | 14 | 24 |
|---|---|---|---|---|---|
| fi | 2 | 3 | 4 | 5 | 4 |
| Calcolo media ((\bar x)): | (6 × 2 + 10 × 3 + 12 × 4 + 14 × 5 + 24 × 4)/(2+3+4+5+4) = 14,22 | ||||
| Calcolo le deviazioni: | 6 – 14,22 = -8,22 | 10 – 14,22 = -4,22 | 12 – 14,22 = -2,22 | 14 – 14,22 = -0,22 | 24 – 14,22 = 9,78 |
| Calcolo le deviazioni quadrate: | 67,5684 | 17,8084 | 4,9284 | 0,0484 | 95,6484 |
| Calcolo fi(xi – (\bar x))(^2): | 135,1368 | 53,4252 | 19,7136 | ||
| xi | fi |
|---|---|
| 6 | 2 |
| 10 | 3 |
| 12 | 4 |
| 14 | 5 |
| 24 | 4 |
Calcoliamo la media:
(6 × 2 + 10 × 3 + 12 × 4 + 14 × 5 + 24 × 4)/(2+3+4+5+4) = 14.22
Calcoliamo poi la deviazione dalla media e il quadrato della deviazione moltiplicato per la frequenza:
Deviazione Standard dei Dati Raggruppati (Continui)
Se la distribuzione di frequenza è continua, ogni classe viene sostituita dal suo punto medio. Successivamente, la deviazione standard viene calcolata utilizzando la stessa tecnica della distribuzione di frequenza discreta. Consideriamo l’esempio seguente. \(x_i\) è calcolato come il punto medio di ogni classe che è calcolato utilizzando la formula (limite inferiore + limite superiore) / 2. Quindi si applica la stessa formula della deviazione standard.
| xi | fi | fixi | xi – (\bar x) | (xi – (\bar x))2 | fi(xi – (\bar x))2 |
|---|---|---|---|---|---|
| 6 | 2 | 12 | -8.22 | 67.5684 | 135.1368 |
| 10 | 3 | 24 | -4.22 | 17.8084 | 53.4252 |
| 12 | 4 | 40 | -2.22 | 4.9284 | 19.7136 |
| 14 | 5 | 60 | -0.22 | 0.0484 | 0.242 |
| Classe | fi | xi |
|---|---|---|
| 0-10 | 3 | 5 |
| 10-20 | 4 | 15 |
| 20-30 | 6 | 25 |
| 30-40 | 4 | 35 |
| 40-50 | 8 | 40 |
La deviazione standard può essere calcolata utilizzando le formule dei dati raggruppati in metodo della media effettiva, metodo della media presunta o metodo delle deviazioni di intervallo.
Deviazione standard delle variabili casuali
Che cos’è una variabile casuale
La deviazione standard delle variabili casuali si riferisce alla misura della dispersione della distribuzione di probabilità di una variabile casuale. Una variabile casuale è una funzione che assegna un valore numerico ad ogni risultato nello spazio campionario.
Come calcolare la deviazione standard delle variabili casuali
Se X è una variabile casuale, la deviazione standard è determinata prendendo la radice quadrata della somma del prodotto della differenza al quadrato tra la variabile casuale X e il valore atteso (𝜇 o E(X)) e il valore di probabilità associato della variabile casuale.
La deviazione standard della distribuzione di probabilità di X, 𝜎 = (\sqrt{\Sigma\left[(x-\mu)^2 \cdot P(x)\right]})
Esiste anche un modo abbreviato per trovare la deviazione standard delle variabili casuali: 𝜎 = (\sqrt{E(X^2)-[E(X)]^2}) (o) 𝜎 = (\sqrt{\Sigma\left[x^2 \cdot P(x)\right]-\mu^2})
Deviazione Standard di Distribuzione di Probabilità
Introduzione
La probabilità sperimentale consiste in molte prove. Quando la differenza tra la probabilità teorica di un evento e la sua frequenza relativa si avvicinano l’una all’altra, tendiamo a conoscere l’outcome medio. Questa media è nota come valore atteso dell’esperimento e viene indicato con 𝜇.
Distribuzione Normale
In una distribuzione normale, la media è zero e la deviazione standard è 1.
Distribuzione Binomiale
In un esperimento binomiale, il numero di successi è una variabile casuale. Se una variabile casuale ha una distribuzione binomiale, la sua deviazione standard è data da: 𝜎 = √npq, dove 𝜇 = np, n = numero di prove, p = probabilità di successo e 1-p=q è la probabilità di fallimento.
Distribuzione di Poisson
In una distribuzione di Poisson, la deviazione standard è data da 𝜎= √λt, dove λ è il numero medio di successi in un intervallo di tempo t.
Note importanti sulla deviazione standard
La radice quadrata della media delle differenze quadrate delle osservazioni dei dati dalla media è chiamata deviazione standard.
La deviazione standard è la radice quadrata positiva della varianza.
La deviazione standard è l’indicatore che mostra la dispersione dei punti dati rispetto alla media.
Significato di Deviazione Standard
Che cos’è la Deviazione Standard?
La deviazione standard rappresenta la misura di dispersione o la distribuzione dei dati rispetto alla media. Ci aiuta a confrontare i set di dati che hanno la stessa media ma una gamma diversa. La formula della deviazione standard del campione è: (s=\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}), dove (\bar x) rappresenta la media del campione e (x_i) rappresenta le osservazioni dei dati e n rappresenta la dimensione del campione.
Formule della Deviazione Standard per Popolazione e Campione
Se ‘n’ è il numero di osservazioni e (\bar x) rappresenta la media della popolazione/campione, allora:
- La formula della deviazione standard per campione è: (s=\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}})
- La formula della deviazione standard per popolazione è: (\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu\right)^{2}})
Come si Calcola la Deviazione Standard?
Per trovare la deviazione standard:
- Prima di tutto, verificare se i valori dei dati rappresentano la popolazione o il campione.
- Se rappresentano il campione, utilizzare la formula della deviazione standard per campione √ [ 1/(n-1) ∑(xi – media campionaria)2.
- Se rappresentano la popolazione, utilizzare la formula della deviazione standard per popolazione √ [ 1/n ∑(xi – media della popolazione)2.
Formule della Deviazione Standard per Dati Non Raggruppati
Quando i dati non sono raggruppati, la deviazione standard (SD) può essere calcolata nei seguenti 3 metodi. Le formule corrispondenti della deviazione standard sono:
- Metodo della media effettiva: σ = √(∑((x-\bar x))2 /n)
- Metodo della media ipotetica: σ = √[(∑(d)2 /n) – (∑d/n)2]
- Metodo del passo di deviazione: σ = √[(∑(d’)2 /n) – (∑d’/n)2] × i
Per una comprensione dettagliata di ciascuno di questi metodi, consultare la pagina precedente.
Esempio di Deviazione Standard
Supponiamo di trovare la deviazione standard dei punti dati 1, 3, 4, 5. La media è 13/4 = 3,25. La media delle differenze = [(3.25-1)2 + (3-3.25)2+ (4-3.25)2 + (5-3.25)2]/4 = 2,06. La deviazione standard = √2,
Fonte di riferimento: https://it.wikipedia.org/wiki/Scarto_quadratico_medio
Formule della Deviazione Standard per Dati Raggruppati
Introduzione
I dati raggruppati possono essere discreti o continui. Qui sono riportate le formule della deviazione standard per dati discreti raggruppati mediante diversi metodi. Nel caso in cui i dati siano continui, i valori dei dati saranno i punti medi degli intervalli di classe e quindi la deviazione standard può essere calcolata dalle stesse formule dei dati discreti.
Formule della Deviazione Standard per Dati Discreti Raggruppati
- Metodo della media effettiva: σ = √(∑(f(x-\bar x))2 /n)
- Metodo della media ipotetica: σ = √[(∑(fd)2 /n) – (∑fd/n)2]
- Metodo del passo di deviazione: σ = √[(∑(fd’)2 /n) – (∑fd’/n)2] × i
Per comprendere il processo di calcolo della deviazione standard in dettaglio, consultare la pagina precedente.
Differenza tra la Formula della Deviazione Standard e la Formula della Varianza
La varianza è la media delle deviazioni al quadrato dalla media, mentre la deviazione standard è la radice quadrata di questo valore. Entrambe le misure riflettono la variabilità della distribuzione, ma le loro unità differiscono: la deviazione standard è espressa nelle stesse unità dei valori originali (ad esempio, minuti o metri). La formula della deviazione standard per campione è = √[ Σ (xi – x̅)2/(n-1) ] e la formula della varianza è σ2 = Σ (xi – x̅)2/(n-1)
Media, Varianza e Deviazione Standard in Statistica
La Varianza e la Deviazione Standard
La varianza è la somma dei quadrati delle differenze tra tutti i numeri e le loro medie. La deviazione standard è la radice quadrata della varianza. Essa è una misura dell’estensione con cui i dati variano dalla media. La formula della deviazione standard è √varianza.
Quale formula usare, Varianza o Deviazione Standard?
Ognuna di esse ha diversi scopi. La deviazione standard è generalmente più utile per descrivere la variabilità dei dati, mentre la varianza è generalmente molto più utile dal punto di vista matematico. Ad esempio, la somma di distribuzioni non correlate (variabili casuali) ha anche una varianza che è la somma delle varianze di quelle distribuzioni.
Perché usare la formula della Deviazione Standard e della Varianza?
La deviazione standard considera quanto sono distribuiti un gruppo di numeri rispetto alla media, guardando la radice quadrata della varianza. La varianza misura il grado medio con cui ogni punto differisce dalla media.
