I determinanti sono quantità scalari ottenute dalla somma dei prodotti degli elementi di una matrice quadrata e dei loro cofattori secondo una regola prescritta. Essi aiutano a trovare l’aggiunta e l’inversa di una matrice. Inoltre, per risolvere le equazioni lineari tramite il metodo di inversione di una matrice, è necessario applicare questo concetto. Il prodotto vettoriale di due vettori può essere facilmente ricordato tramite il calcolo dei determinanti.
In questo articolo, impareremo di più sul processo di trovare i determinanti di ordini diversi e le loro proprietà, e lavoreremo su alcuni esempi risolti.
Cosa sono i Determinanti?
I determinanti sono considerati come un fattore di scala delle matrici. Possono essere considerati come funzioni di espansione e contrazione delle matrici. I determinanti prendono come input una matrice quadrata e restituiscono un singolo numero come output.
Definizione dei Determinanti
Per ogni matrice quadrata, C = [\(\mathbf{c}_{ij}\)] di ordine n×n, si può definire un determinante come un valore scalare che è un numero reale o complesso, dove \(\mathbf{c}_{ij}\) è l’elemento (i, j)-esimo della matrice C. Il determinante può essere indicato come det(C) o |C|, qui il determinante è scritto prendendo la griglia di numeri e disponendoli all’interno delle barre del valore assoluto invece di utilizzare le parentesi quadre.
Consideriamo una matrice C = \(\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ \\ 3 & 4\end{array}\right]\)
Allora, il suo determinante può essere mostrato come:
|C| = \(\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \ 3 & 4\end{array}\right|\)
Come Calcolare il Determinante?
Per la più semplice matrice quadrata di ordine 1×1, che ha solo un numero, il determinante diventa il numero stesso. Impariamo come calcolare i determinanti per le matrici di ordine secondo, terzo e quarto.
Calcolare il Determinante di una Matrice 2×2
Per qualsiasi matrice quadrata 2×2 o una matrice quadrata di ordine 2×2, possiamo usare la formula del determinante per calcolare il suo determinante:
C = \(\left[\begin{array}{ll}a & b \\\\c & d\end{array}\right]\)
Il suo determinante 2×2 può essere calcolato come:
|C| = \(\left|\begin{array}{ll}a & b \c & d\end{array}\right|\) = (a×d) – (b×c)
Ad esempio: C = \(\left[\begin{array}{ll}8 & 6 \\ \\3 & 4\end{array}\right]\)
Il suo determinante può essere calcolato come:
|C| = \(\left|\begin{array}{ll}8 & 6 \3 & 4\end{array}\right|\)
|C| = (8×4) – (6×3) = 32 – 18 = 14
Calcolare il Determinante di una Matrice 3×3
Per qualsiasi matrice quadrata 3×3 o una matrice quadrata di ordine 3×3, \(C = \left[\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\a_{2} & b_{2} & c_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right] \), il determinante è rappresentato come:
|C| (o) det C = \(\left|\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \a_{2} & b_{2} & c_{2} \a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right| \)
Ecco i passaggi per calcolare il determinante di una matrice 3×3:
- a1 è fissato come il numero di ancoraggio e il determinante 2×2 della sua sottomatrice (minore di a1).
- In modo simile, calcolare i minori di b1 e c1.
- Moltiplicare il piccolo determinante per il numero di ancoraggio e per il suo segno \(\left|\begin{array}{ccc}+ &-& + \\- & + & – \\+ &-& + \end{array}\right| \)
- Infine sommare i risultati.
|C| = \(a_{1} \cdot\left|\begin{array}{ll}b_{2} & c_{2} \b_{3} & c_{3}\end{array}\right|-b_{1} \cdot\left|\begin{array}{cc}a_{2} & c_{2} \a_{3} & c_{3}\end{array}\right|+c_{1} \cdot\left|\begin{array}{ll}a_{2} & b_{2} \a_{3} & b_{3}\end{array}\right|\)
|C| = \(a_{1}\left(b_{2} c_{3}-b_{3} c_{2}\right)-b_{1}\left(a_{2} c_{3}-a_{3} c_{2}\right)+c_{1}\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\right)\)
Consideriamo questo esempio:
\(B = \left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 1 \\4 & -2 & 5 \\2 & 8 & 7\end{array}\right] \)
Il suo determinante è calcolato come:
|B| = \(\left|\begin{array}{ccc}3 & 1 & 1 \4 & -2 & 5 \2 & 8 & 7\end{array}\right| \)
= (3 \cdot\left|\begin{array}{ll}-2 & 5 \8 & 7\end{array}\right|-1 \cdot\left|\begin{array}{cc}4 & 5 \2 & 7\end{array}\right|+1 \cdot\left|\begin{array}{ll}4 & –
Calcolare il Determinante di una Matrice 4×4
Consideriamo la matrice quadrata 4×4 o la matrice quadrata di ordine 4×4 riportata di seguito, le seguenti modifiche devono essere prese in considerazione mentre si trova il determinante di una matrice 4×4:
B = \(\left[\begin{array}{cccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \\a_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4}\end{array}\right]\)
più a1 volte il determinante della matrice 3×3 ottenuta cancellando la riga e la colonna contenenti a1
meno b1 volte il determinante della matrice 3×3 ottenuta cancellando la riga e la colonna contenenti b1
più c1 volte il determinante della matrice 3×3 ottenuta cancellando la riga e la colonna contenenti c1
meno d1 volte il determinante della matrice 3×3 ottenuta cancellando la riga e la colonna contenenti d1
\(\begin{align}|B| = &a_{1} \cdot\left|\begin{array}{lll}b_{2} & c_{2} & d_{2} \\b_{3} & c_{3} & d_{3} \\b_{4} & c_{4} & d_{4}\end{array}\right|-b_{1} \cdot\left|\begin{array}{ccc}a_{2} & c_{2} & d_{2} \\a_{3} & c_{3} & d_{3} \\a_{4} & c_{4} & d_{4}\end{array}\right|\\&+c_{1}\cdot\left|\begin{array}{ccc}a_{2} & b_{2} & d_{2} \\a_{3} & b_{3} & d_{3} \\a_{4} & b_{4} & d_{4}\end{array}\right|-d_{1} \cdot\left|\begin{array}{ccc}a_{2} & b_{2} & c_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3} \\a_{4} & b_{4} & c_{4}\end{array}\right|\end{align}\)
Possiamo utilizzare il metodo menzionato nella sezione precedente per trovare il determinante delle matrici 3×3. Ecco un modo facile per trovarlo.
Moltiplicazione di Determinanti
Moltiplicazione di Determinanti 2×2
Per moltiplicare due determinanti di matrici quadrate A e B di ordine 2×2, utilizziamo il metodo chiamato “moltiplicazione di matrici”. Prima di tutto, definiamo i loro determinanti rispettivi come |A| e |B| come mostrato di seguito:
|A| = \(\left|\begin{array}{ll}\mathrm{a}_{1} & \mathrm{~b}_{1} \\\mathrm{a}_{2} & \mathrm{~b}_{2}\end{array}\right|\)
|B| = \(\left|\begin{array}{ll}\mathrm{p}_{1} & \mathrm{~q}_{1} \\\mathrm{p}_{2} & \mathrm{~q}_{2}\end{array}\right|\)
|A| × |B| = \(\left|\begin{array}{ll}\mathrm{a}_{1} & \mathrm{~b}_{1} \\\mathrm{a}_{2} & \mathrm{~b}_{2}\end{array}\right| \times\left|\begin{array}{cc}p_{1} & \mathrm{~q}_{1} \\p_{2} & \mathrm{~q}_{2}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}\mathrm{a}_{1} p_{1}+\mathrm{b}_{1} p_{2} & \mathrm{a}_{1} \mathrm{~q}_{1}+\mathrm{b}_{1} \mathrm{~q}_{2} \\\mathrm{a}_{2} p_{1}+\mathrm{b}_{2} p_{2} & \mathrm{a}_{2} \mathrm{~q}_{1}+\mathrm{b}_{2} \mathrm{~q}_{2}\end{array}\right|\)
Moltiplicazione di determinanti 3×3
Introduzione
Consideriamo due matrici C e D di ordine 3×3, dove rispettivamente denotiamo i loro determinanti con |C| e |D| come mostrato di seguito:
|C| = (\left|\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \a_{2} & b_{2} & c_{2} \a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right|)
|D| = (\left|\begin{array}{lll}p_{1} & q_{1} & r_{1} \p_{2} & q_{2} & r_{2} \p_{3} & q_{3} & r_{3}\end{array}\right|)
Moltiplicazione di determinanti
Per calcolare il determinante di una matrice, dobbiamo seguire determinate regole. Una di queste regole riguarda la moltiplicazione di due determinanti.
La moltiplicazione di due determinanti deve essere effettuata solo se entrambi sono della stessa dimensione. La regola generale per la moltiplicazione di determinanti 3×3 è la seguente:
|C| × |D| = (\left|\begin{array}{lll}
a_{1} p_{1}+b_{1} p_{2}+c_{1} p_{3} & a_{1} q_{1}+b_{1} q_{2}+c_{1} q_{3} & a_{1} r_{1}+b_{1} r_{2}+c_{1} r_{3} \
a_{2} p_{1}+b_{2} p_{2}+c_{2} p_{3} & a_{2} q_{1}+b_{2} q_{2}+c_{2} q_{3} & a_{2} r_{1}+b_{2} r_{2}+c_{2} r_{3} \
a_{3} p_{1}+b_{3} p_{2}+c_{3} p_{3} & a_{3} q_{1}+b_{3} q_{2}+c_{3} q_{3} & a_{3} r_{1}+b_{3} r_{2}+c_{3} r_{3}
\end{array}\right|)
Regole importanti da ricordare:
- Per moltiplicare due determinanti, dobbiamo assicurarci che entrambi siano della stessa dimensione
- Il valore del determinante non cambia quando le righe e le colonne sono scambiate, quindi possiamo seguire le regole di moltiplicazione riga per colonna, riga per riga o colonna per colonna per moltiplicare due determinanti.
Proprietà dei determinanti
Introduzione
Per le matrici quadrate di diversi tipi, quando il loro determinante viene calcolato, si basano su alcune importanti proprietà dei determinanti. Ecco l’elenco di alcune importanti proprietà dei determinanti:
Proprietà importanti dei determinanti
Proprietà 1:
“Il determinante di una matrice identità è sempre 1”
Consideriamo il determinante di una matrice identità I = (\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right]), |I| = (1)(1) – (0)(0) = 1.
Quindi, il determinante di qualsiasi matrice identità è sempre 1.
Proprietà 2:
“Se una matrice quadrata B di ordine n × n ha una riga o una colonna di zeri, allora det(B) = 0”
Consideriamo il determinante di una matrice identità B,
|B| = (\left|\begin{array}{ll} 2 & 2 \\0 & 0\end{array}\right|)
|B| = (2)(0) – (2)(0) = 0
Qui, la matrice quadrata B ha una riga di zeri, quindi il determinante di questa matrice quadrata diventa zero.
Proprietà 3:
“Se C è una matrice triangolare superiore o inferiore, allora det(C) è il prodotto di tutte le sue voci diagonal”
Consideriamo una matrice triangolare superiore C con le voci diagonal 3, 2 e 4. Il determinante |C| può essere trovato come:
|C| = (\left|\begin{array}{ccc}3 & 1 & 1 \\0 & 2 & 5 \\0 & 0 & 4\end{array}\right|)
|C| = 3 × 2 × 4 = 24
Proprietà 4:
“Se D è una matrice quadrata, allora se la sua riga è moltiplicata per una costante k, allora la costante può essere estratta dal determinante”
|D| = (\left|\begin{array}{ll}k×a & k×b \\c & d\end{array}\right|)
|D| = k × (\left|\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right|)
|D| = (\left|\begin{array}{ll}2 & 4 \\1 & 5\end{array}\right|)
= (2)(5) – (4)(1)
= 10 – 4 = 6
|D| = 2 × (\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\1 & 5\end{array}\right|)
= 2 × ((1)(5) – (2)(1))
= 2 × (5-2) = 2 × 3 = 6
Quindi, il determinante rimane lo stesso in entrambi i casi.
Altre importanti proprietà dei determinanti
Regole per le operazioni sui determinanti
Introduzione
Le regole per le operazioni sulle righe e colonne dei determinanti sono molto utili durante il calcolo dei determinanti. Ecco un elenco di alcune delle regole importanti per le operazioni sui determinanti.
Regole importanti per le operazioni sui determinanti
- Il valore del determinante rimane invariato se le righe e le colonne vengono scambiate.
- Il segno del determinante cambia se due righe o (due colonne) vengono scambiate.
- Se due righe o colonne di una matrice sono uguali, il valore del determinante è zero.
- Se ogni elemento di una particolare riga o colonna viene moltiplicato per una costante, il valore del determinante viene moltiplicato per la stessa costante.
- Se gli elementi di una riga o una colonna vengono espressi come somma di elementi, il determinante può essere espresso come somma di determinanti.
- Se gli elementi di una riga o colonna vengono aggiunti o sottratti con i corrispondenti multipli di elementi di un’altra riga o colonna, il valore del determinante rimane invariato.
Note importanti sui determinanti
Ecco alcuni punti che dovrebbero essere tenuti a mente durante lo studio dei determinanti:
- Un determinante può essere considerato come una funzione che prende una matrice quadrata come input e restituisce un singolo numero come output.
- Una matrice quadrata può essere definita come una matrice che ha lo stesso numero di righe e colonne.
- Per la matrice quadrata più semplice di ordine 1×1, che ha solo un numero, il determinante diventa il numero stesso.
Che cos’è un determinante?
Definizione di determinante
Il determinante di una matrice quadrata C = [(c_{ij})] di ordine n×n, può essere definito come un valore scalare che è un numero reale o complesso, dove (c_{ij}) è l’elemento (i,j)-esimo della matrice C. Viene indicato come det(C) o |C|, qui il determinante viene scritto prendendo la griglia di numeri e disponendoli all’interno di barre di valore assoluto invece di usare le parentesi quadre. Il determinante di una matrice quadrata (C = \left[\begin{array}{ll} 4 & 2\ \ 5 & 3\end{array}\right]) può essere scritto come: (|C| = \left|\begin{array}{ll} 4 & 2\5 & 3\end{array}\right|). Si ottiene moltiplicando gli elementi di qualsiasi riga o colonna per i loro cofattori corrispondenti e sommando i prodotti.
A cosa servono i determinanti?
I determinanti svolgono un ruolo importante nelle equazioni lineari in cui vengono utilizzati per catturare il cambiamento delle variabili in numeri interi e come le trasformazioni lineari cambiano il volume o l’area. I determinanti sono particolarmente utili nelle applicazioni in cui vengono utilizzati gli inversi e gli aggiunti delle matrici. Il prodotto vettoriale di due vettori viene anche calcolato utilizzando i determinanti.
Formula del determinante per matrici 2×2
Per qualsiasi matrice quadrata di dimensione 2×2 o una matrice quadrata di ordine 2×2, possiamo utilizzare questa formula del determinante per calcolarne il determinante: (C = \left|\begin{array}{ll}a & b\c & d\end{array}\right|). La formula per calcolare il determinante 2×2 è |C| = (a×d) – (b×c).
Esempi di determinanti
Consideriamo l’esempio di una matrice quadrata D, D = (\left[\begin{array}{ll}8 & 6 \3 & 4\end{array}\right]). Il suo determinante può essere calcolato come: |D| = (\left|\begin{array}{ll}8 & 6 \3 & 4\end{array}\right|) |D| = (8×4) – (6×3) = 32 – 18 = 14.
Le proprietà dei determinanti
Determinante di una matrice identità è sempre 1
Il determinante di una matrice identità I = (\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right]), è |I| = (1)(1) – (0)(0) = 1.
Quindi, il determinante di qualsiasi matrice identità è sempre 1.
Determinante di una matrice con una riga o colonna di zeri è zero
Se una matrice B con ordine n×n ha una riga o una colonna di zeri, allora det(B) = 0. Ad esempio, il determinante della matrice B seguente è zero:
|B| = (\left|\begin{array}{ll} 2 & 2 \0 & 0\end{array}\right|)
|B| = (2)(0) – (2)(0) = 0
Determinante di una matrice triangolare è il prodotto degli elementi della diagonale
Se C è una matrice triangolare superiore o inferiore con gli elementi diagonali 3, 2 e 4, il determinante |C| può essere trovato come:
|C| = (\left|\begin{array}{ccc}3 & 1 & 1 \0 & 2 & 5 \0 & 0 & 4\end{array}\right| )
|C| = 3 × 2 × 4 = 24
Determinante di una matrice con una riga o colonna moltiplicata per una costante
Se D è una matrice quadrata e una sua riga o colonna è moltiplicata per una costante k, allora la costante può essere estratta dal determinante:
|D| = (\left|\begin{array}{ll}k×a & k×b \c & d\end{array}\right|) |D| = k × (\left|\begin{array}{ll}a & b \c & d\end{array}\right|)
Ad esempio, il determinante della matrice D seguente è 6:
|D| = (\left|\begin{array}{ll}2 & 4 \1 & 5\end{array}\right|) = (2)(5) – (4)(1) = 10 – 4 = 6
|D| = 2 × (\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \1 & 5\end{array}\right|) = 2 × ((1)(5) – (2)(1)) = 2 × (5-2) = 2 × 3 = 6
Quindi, il determinante rimane lo stesso in entrambi i casi.
Determinanti di matrici invertibili
Una matrice C quadrata è considerata invertibile solo se det(C) ≠ 0.
Moltiplicazione di determinanti
La moltiplicazione di determinanti è commutativa, ovvero det(BC) = det(B) × det(C) = det(C) × det(B).
Come valutare i determinanti di una matrice 3×3?
Per valutare il determinante di una matrice
Quali sono le regole per eseguire le operazioni di riga e colonna sui determinanti?
Regole per eseguire le operazioni di riga e colonna sui determinanti
Le seguenti regole sono utili per eseguire le operazioni di riga e colonna sui determinanti:
- Se le righe e le colonne sono scambiate, il valore del determinante rimane invariato.
- Quando due righe o due colonne sono scambiate, il segno del determinante cambia.
- Il valore del determinante di una matrice in cui due righe/colonne sono uguali è zero.
- Se ogni elemento di una particolare riga o colonna di una matrice viene moltiplicato per una costante, il determinante viene moltiplicato anche per la costante.
- Se gli elementi di una riga o di una colonna sono espressi come somme, il determinante può essere diviso in due o più determinanti.
- Se una riga (o colonna) viene moltiplicata per un numero e gli elementi risultanti vengono aggiunti a un’altra riga (o colonna), non ci sono cambiamenti nel determinante.
Dove possiamo trovare un calcolatore di determinanti?
Per trovare il determinante di una matrice, utilizzare il seguente calcolatore: Determinant Calculator. Questo ci aiuterà a trovare il determinante di una matrice 3×3.
Cosa è il determinante di una matrice triangolare?
Il determinante di una matrice triangolare può essere trovato calcolando il prodotto di tutti i suoi elementi diagonali. Questo è applicabile sia alle matrici triangolari superiori che a quelle inferiori.
I determinanti possono essere negativi?
I determinanti rappresentano una quantità scalare che è un numero reale. Quindi i determinanti possono essere negativi. Se i determinanti sono negativi, significa che la matrice ha invertito l’orientamento del suo vettore base. |-A| = (-1)n |A|. Prendi qualsiasi determinante positivo e scambia due righe o colonne della matrice e trova il suo determinante, il quale risulterà in un determinante negativo.
Fonte di riferimento: https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)
