Il processo di trovare le derivate delle funzioni trigonometriche è noto come differenziazione delle funzioni trigonometriche. In altre parole, la differenziazione delle funzioni trigonometriche consiste nel trovare il tasso di variazione della funzione rispetto alla variabile. Le sei funzioni trigonometriche di base hanno formule di differenziazione che possono essere utilizzate in vari problemi di applicazione della derivata.
Le sei funzioni trigonometriche di base includono: seno (sin x), coseno (cos x), tangente (tan x), cotangente (cot x), secante (sec x) e cosecante (cosec x). In questo articolo, troveremo le derivate delle funzioni trigonometriche e le loro dimostrazioni. La differenziazione delle funzioni trigonometriche ha applicazioni in diversi campi come l’elettronica, la programmazione informatica e la modellizzazione di diverse funzioni cicliche.
Cos’è la Differenziazione delle Funzioni Trigonometriche?
Nella trigonometria, la differenziazione delle funzioni trigonometriche è un processo matematico per determinare il tasso di variazione delle funzioni trigonometriche rispetto all’angolo variabile. La differenziazione delle funzioni trigonometriche può essere fatta utilizzando le derivate di sin x e cos x applicando la regola del quoziente. Di seguito sono elencate le formule di differenziazione delle sei funzioni trigonometriche:
Derivazione di sin x:
(sin x)’ = cos x
Derivazione di cos x:
(cos x)’ = -sin x
Derivazione di tan x:
(tan x)’ = sec2 x
Derivazione di cot x:
(cot x)’ = -cosec2 x
Derivazione di sec x:
(sec x)’ = sec x.tan x
Derivazione di cosec x:
(cosec x)’ = -cosec x.cot x
Per scrivere le derivate, usiamo d/dx. Ecco le tre derivate usando questa notazione.
Dimostrazioni delle Derivate Trigonometriche
Ora che abbiamo la differenziazione delle funzioni trigonometriche (sin x, cos x, tan x, cot x, sec x, cosec x), dimostreremo e deriveremo le derivate trigonometriche utilizzando vari metodi come la regola del quoziente, il primo principio della differenziazione e la regola della catena insieme ad alcune formule di limite.
Derivata di sin x
Dimostreremo la derivata di sin x utilizzando il primo principio della differenziazione, ovvero utilizzando la definizione di limiti. Per derivare la differenziazione della funzione trigonometrica sin x, utilizzeremo i seguenti limiti e formule trigonometriche:
sin (A+B) = sin A cos B + sin B cos A
(\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\cos x -1}{x} = 0)
(\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1)
Calcoliamo ora la derivata della funzione trigonometrica sin x:
(\begin{align}\frac{\mathrm{d} (\sin x)}{\mathrm{d} x} &= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\sin (x + h)-\sin x}{(x+h)-x} \&= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\sin x \cos h +\cos x \sin h-\sin x}{h}\&=\lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\cos h -1 }{h}\sin x + \dfrac{\sin h}{h}\cos x\&=(0)\sin x + (1)\cos x\&=\cos x\end{align})
Quindi, d(sin x)/dx = cos x
Derivata di cos x
Dimostreremo la derivata di cos x utilizzando il primo principio della differenziazione, ovvero utilizzando la definizione di limiti. Per derivare la differenziazione della funzione trigonometrica cos x, utilizzeremo i seguenti limiti e formule trigonometriche:
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
(\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\cos x -1}{x} = 0)
(\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1)
Ora abbiamo
(\begin{align}\frac{\mathrm{d} (\cos x)}{\mathrm{d} x} &= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\cos (x + h)-\cos x}{(x+h)-x} \&= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\cos x \cos h -\sin x \sin h-\cos x}{h}\&=\lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\cos h -1 }{h}\cos x – \dfrac{\sin h}{h}\sin x\&=(0)\cos x – (1)\sin x\&=-\sin x\end{align})
Derivata di tan x
Determineremo la derivata di tan x utilizzando la regola del quoziente. Utilizzeremo le seguenti formule e identità per calcolare la derivata:
(sin x)’ = cos x
(cos x)’ = -sin x
tan x = sin x/ cos x
cos2x + sin2x = 1
sec x = 1/cos x
(tan x)’ = (sin x/cos x)’ = [(sin x)’ cos x – (cos x)’ sin x]/cos2x = [cos x. cos x – (-sin x). sin x]/cos2x = (cos2x + sin2x)/cos2x = 1/cos2x = sec2x
Quindi, d(tan x)/dx = sec2x
Derivata di cot x
Determineremo la derivata di cot x utilizzando la regola del quoziente. Utilizzeremo le seguenti formule e identità per calcolare la derivata:
(sin x)’ = cos x
(cos x)’ = -sin x
cot x = cos x/ sin x
cos2x + sin2x = 1
cosec x = 1/sin x
(cot x)’ = (cos x/sin x)’ = [(cos x)’ sin x – (sin x)’ cos x]/sin2x = [-sin x. sin x – cos x. cos x]/sin2x = (-sin2x – cos2x)/sin2x = -1/sin2x = -cosec2x
Quindi, d(cot x)/dx = -cosec2x
Derivata di sec x
Determineremo la derivata di sec x utilizzando la regola della catena. Utilizzeremo le seguenti formule e identità per calcolare la derivata:
sec x = 1/cos x
tan x = sin x/cos x
(cos x)’ = -sin x
(sec x)’ = (1/cos x)’ = (-1/cos2x).(cos x)’ = (-1/cos2x).(-sin x) = sin x/cos2x = (sin x/cos x).(1/cos x) = tan x sec x
Quindi, d(sec x)/dx = tan x sec x
Derivata di cosec x
Determineremo la derivata di cosec x utilizzando la regola della catena. Utilizzeremo le seguenti formule e identità per calcolare la derivata:
cosec x = 1/sin x
cot x = cos x/sin x
(sin x)’ = cos x
(cosec x)’ = (1/sin x)’ = (-1/sin2x).(sin x)’ = (-1/sin2x).(cos x) = -cos x/sin2x = -(cos x/sin x).(1/sin x) = -cot x cosec x
Quindi, d(cosec x)/dx = -cot x cosec x
Applicazioni della derivazione delle funzioni trigonometriche
La derivazione delle funzioni trigonometriche ha diverse applicazioni nel campo della matematica e nella vita reale. Di seguito ne elenchiamo alcune:
- Viene utilizzata per determinare la pendenza della retta tangente ad una curva trigonometrica y = f(x).
- Viene utilizzata per determinare la pendenza della retta normale ad una curva trigonometrica y = f(x).
- Aiuta a determinare l’equazione della retta tangente o normale di una curva.
- La derivazione delle funzioni trigonometriche ha applicazioni in diversi campi come l’elettronica, la programmazione informatica e la modellizzazione di diverse funzioni cicliche.
- Utilizziamo le derivate delle funzioni trigonometriche per determinare i valori massimi e minimi di particolari funzioni.
Derivazione delle funzioni trigonometriche inverse
La derivazione delle funzioni trigonometriche inverse viene effettuata ponendo la funzione uguale a y e applicando la derivazione implicita. Elenchiamo di seguito le derivate delle funzioni trigonometriche inverse insieme ai loro domini (arcsin x, arccos x, arctan x, arccot x, arcsec x, arccosec x):
- (arcsin x)’ = 1/√(1 – x2) , -1 < x < 1
- (arccos x)’ = -1/√(1 – x2) , -1 < x < 1
- (arctan x)’ = 1/(1 + x2) , -∞ < x < ∞
- (arccot x)’ = -1/(1 + x2) , -∞ < x < ∞
- (arcsec x)’ = 1/|x|√(x2 – 1) , x ∈ (-∞, -1) ∪ (1, ∞)
- (arccosec x)’ = -1/|x|√(x2 – 1) , x ∈ (-∞, -1) ∪ (1, ∞)
Anti-Derivazione delle Funzioni Trigonometriche
L’anti-derivazione delle funzioni trigonometriche è il processo inverso della derivazione delle funzioni trigonometriche. Questo processo è anche chiamato integrazione delle funzioni trigonometriche. L’elenco delle anti-derivate delle funzioni trigonometriche è riportato di seguito:
- ∫ sinx dx = -cos x + C
- ∫ cosx dx = sin x + C
- ∫ tanx dx = ln |sec x| + C
- ∫ cotx dx = ln |sin x| + C
- ∫ secx dx = ln |sec x + tan x| + C
- ∫ cosecx dx = -ln |cosec x + cot x| + C
Dove C è la costante di integrazione.
Note importanti sulla derivazione delle funzioni trigonometriche:
- Derivazione di sin x: (sin x)’ = cos x
- Derivazione di cos x: (cos x)’ = -sin x
- Derivazione di tan x: (tan x)’ = sec2 x
- Derivazione di cot x: (cot x)’ = -cosec2 x
- Derivazione di sec x: (sec x)’ = sec x.tan x
- Derivazione di cosec x: (cosec x)’ = -cosec x.cot x
Differenziazione delle funzioni trigonometriche in trigonometria
Cosa significa differenziare le funzioni trigonometriche?
In trigonometria, la differenziazione delle funzioni trigonometriche è un processo matematico per determinare il tasso di variazione delle funzioni trigonometriche rispetto alla variabile angolare. Il processo di trovare le derivate delle funzioni trigonometriche circolari è noto come differenziazione delle funzioni trigonometriche.
Quali sono le derivate delle 6 funzioni trigonometriche?
Le formule di differenziazione delle sei funzioni trigonometriche sono elencate di seguito:
- sen(x)’ = cos(x)
- cos(x)’ = -sen(x)
- tan(x)’ = sec^2(x)
- cot(x)’ = -csc^2(x)
- sec(x)’ = sec(x)tan(x)
- csc(x)’ = -csc(x)cot(x)
Quali sono le applicazioni della differenziazione delle funzioni trigonometriche?
La differenziazione delle funzioni trigonometriche ha molte applicazioni nel campo della matematica e della vita reale.
Ad esempio, ci aiuta a determinare l’equazione della retta tangente o normale di una curva. Inoltre, la differenziazione delle funzioni trigonometriche ha applicazioni in diversi campi, come l’elettronica, la programmazione informatica e la modellizzazione di diverse funzioni cicliche.
Infine, utilizziamo la differenziazione delle funzioni trigonometriche per determinare i valori massimi e minimi di particolari funzioni.
Antidifferenziazione delle funzioni trigonometriche in trigonometria
Cosa significa antidifferenziare le funzioni trigonometriche?
L’antidifferenziazione delle funzioni trigonometriche è il processo inverso della differenziazione delle funzioni trigonometriche. Questo processo è anche chiamato integrazione delle funzioni trigonometriche.
Quali sono le antiderivate delle sei funzioni trigonometriche?
L’elenco delle antiderivate delle funzioni trigonometriche è dato di seguito:
- ∫cos(x)dx = sen(x) + C
- ∫sen(x)dx = -cos(x) + C
- ∫sec^2(x)dx = tan(x) + C
- ∫csc^2(x)dx = -cot(x) + C
- ∫sec(x)tan(x)dx = sec(x) + C
- ∫csc(x)cot(x)dx = -csc(x) + C
Quali sono le derivate trigonometriche?
La derivata delle funzioni trigonometriche può essere calcolata utilizzando vari metodi come la regola del quoziente, il primo principio di differenziazione e la regola della catena insieme ad alcune formule di limite. Le derivate delle funzioni trigonometriche sono:
- (sen x)’ = cos x
- (cos x)’ = -sen x
- (tan x)’ = sec^2 x
- (cot x)’ = -cosec^2 x
- (sec x)’ = sec x.tan x
- (cosec x)’ = -cosec x.cot x
Come si derivano le funzioni trigonometriche?
Le derivate delle funzioni trigonometriche possono essere trovate utilizzando diversi metodi di differenziazione come il primo principio di differenziazione, la regola del prodotto, la regola del quoziente e la regola della catena.
Fonte di riferimento: https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_trigonometrica
