Cosa è una circonferenza unitaria?

Una circonferenza unitaria, come suggerisce il nome, è una circonferenza di raggio unitario. Una circonferenza è una figura geometrica chiusa senza lati o angoli. La circonferenza unitaria possiede tutte le proprietà di una circonferenza ed è ottenuta a partire dall’equazione di una circonferenza. Inoltre, la circonferenza unitaria è utile per ottenere i valori standard degli angoli di tutte le funzioni trigonometriche.

In questa lezione, impareremo l’equazione della circonferenza unitaria e capiremo come rappresentare ogni punto sulla sua circonferenza, grazie alle funzioni trigonometriche del coseno e del seno (cosθ e sinθ).

Cosa è la circonferenza unitaria?

La circonferenza unitaria è una circonferenza con un raggio di 1 unità. La circonferenza unitaria viene generalmente rappresentata nel piano cartesiano. Algebraicamente, la circonferenza unitaria è rappresentata dall’equazione del secondo grado con due variabili x e y. La circonferenza unitaria ha applicazioni nella trigonometria ed è utile per trovare i valori dei rapporti trigonometrici seno, coseno, tangente.

Circonferenza Unitaria - Equazione di una Circonferenza Unitaria

Definizione della Circonferenza Unitaria

La locazione di un punto a una distanza di una unità da un punto fisso viene definita come una circonferenza unitaria.

L’equazione della circonferenza unitaria

L’equazione generale di una circonferenza è (x – a)2 + (y – b)2 = r2, che rappresenta una circonferenza con centro in (a, b) e raggio r. Questa equazione può essere semplificata per rappresentare l’equazione della circonferenza unitaria. La circonferenza unitaria ha il suo centro nel punto (0, 0), che è l’origine degli assi di coordinate e un raggio di 1 unità. Pertanto, l’equazione della circonferenza unitaria è (x – 0)2 + (y – 0)2 = 12. Questa equazione può essere ulteriormente semplificata per ottenere l’equazione della circonferenza unitaria.

Equazione della Circonferenza Unitaria: x2 + y2 = 1

Per la circonferenza unitaria, il centro si trova in (0, 0) e il raggio è di 1 unità. L’equazione sopra soddisfa tutti i punti situati sulla circonferenza attraverso i quattro quadranti.

Calcolo delle Funzioni Trigonometriche Utilizzando la Circonferenza Unitaria

Possiamo calcolare le funzioni trigonometriche del seno, del coseno e della tangente utilizzando la circonferenza unitaria. Applichiamo il teorema di Pitagora in una circonferenza unitaria per comprendere le funzioni trigonometriche. Consideriamo un triangolo rettangolo posizionato in una circonferenza unitaria nel piano cartesiano. Il raggio della circonferenza rappresenta l’ipotenusa del triangolo rettangolo. Il vettore del raggio forma un angolo θ con l’asse x positivo e le coordinate del punto finale del vettore del raggio sono (x, y). Qui i valori di x e y sono le lunghezze della base e dell’altezza del triangolo rettangolo. Ora abbiamo un triangolo rettangolo con i lati 1, x, y. Applicando questo in trigonometria, possiamo trovare i valori del rapporto trigonometrico, come segue:

Calcolo del Seno e del Coseno:

sinθ = Altezza/Ipotenusa = y/1

cosθ = Base/Ipotenusa = x/1

Ora abbiamo sinθ = y, cosθ = x e utilizzando questi valori possiamo trovare il valore della tangente come tanθ = y/x. Allo stesso modo, possiamo ottenere i valori degli altri rapporti trigonometrici utilizzando il triangolo rettangolo all’interno della circonferenza unitaria. Cambiando i valori di θ, possiamo ottenere i valori principali di questi rapporti trigonometrici.

La Circonferenza Unitaria con Sin, Cos e Tan

Qualsiasi punto sulla circonferenza unitaria ha coordinate (x, y), che sono uguali alle identità trigonometriche di (cosθ, sinθ). Per qualsiasi valore di θ fatto dalla linea del raggio con l’asse x positivo, le coordinate del punto finale del raggio rappresentano il coseno e il seno dei valori di θ. Qui abbiamo cosθ = x e sinθ = y e questi valori sono utili per calcolare gli altri valori del rapporto trigonometrico. Applicando ulteriormente abbiamo tanθ = sinθ/cosθ o tanθ = y/x.

Un altro punto importante da comprendere è che i valori di sinθ e cosθ si trovano sempre tra 1 e -1 e il valore del raggio è 1, con un valore di -1 sull’asse x negativo. L’intera circonferenza rappresenta un angolo completo di 360 ° e le quattro linee di quadrante della circonferenza formano angoli di 90 °, 180 °, 270 °, 360 ° (0 °). A 90° e a 270° il valore di cosθ è uguale a 0 e quindi i valori di tan a questi angoli sono indefiniti.

Esempio: Calcolo della Tangente di 45° utilizzando i valori di sin e cos dalla circonferenza unitaria.

Soluzione:

Sappiamo che tan 45° = sin 45°/cos 45°

Utilizzando la tabella della circonferenza unitaria:

sin 45° = 1/√2

cos 45° = 1/√2

Quindi, tan 45° = sin 45°/cos 45°

=(1/√2)/(1/√2)

= 1

Quindi, tan 45° = 1

Tabella della Circonferenza Unitaria in Radianti

La circonferenza unitaria rappresenta un angolo completo di 2π radianti. La circonferenza unitaria è divisa in quattro quadranti agli angoli di π/2, π, 3π/2 e 2π rispettivamente. Inoltre, all’interno del primo quadrante agli angoli di 0, π/6, π/4, π/3, π/2 si trovano i valori standard, che sono applicabili ai rapporti trigonometrici. I punti sulla circonferenza unitaria per questi angoli rappresentano i valori standard degli angoli del coseno e del seno. Osservando attentamente la figura sottostante, i valori si ripetono nei quattro quadranti, ma con un cambiamento di segno. Questo cambiamento di segno è dovuto all’asse x e all’asse y di riferimento, che sono positivi da un lato e negativi dall’altro lato dell’origine. Ora, con l’aiuto di questo, possiamo facilmente trovare i valori del rapporto trigonometrico degli angoli standard, attraverso i quattro quadranti della circonferenza unitaria.

Circonferenza Unitaria e Identità Trigonometriche

Le identità trigonometriche della circonferenza unitaria del seno, del cosecante e della tangente possono essere utilizzate ulteriormente per ottenere le altre identità trigonometriche come la cotangente, la secante e la cosecante. Le identità della circonferenza unitaria come la cosecante, la secante, la cotangente sono rispettivamente il reciproco del seno, del coseno, della tangente. Inoltre, possiamo ottenere il valore di tanθ dividendo sinθ per cosθ e possiamo ottenere il valore di cotθ dividendo cosθ per sinθ.

Per un triangolo rettangolo posizionato in una circonferenza unitaria nel piano cartesiano, con ipotenusa, base e altezza di misura 1, x, y rispettivamente, le identità della circonferenza unitaria possono essere date come segue:

sinθ = y/1

cosθ = x/1

tanθ = sinθ/cosθ = y/x

sec(θ) = 1/x

csc(θ) = 1/y

cot(θ) = cosθ/sinθ = x/y

L'equazione della circonferenza unitaria

Identità Pitagoriche della Circonferenza Unitaria

Le tre importanti identità pitagoriche dei rapporti trigonometrici possono essere facilmente comprese e dimostrate con la circonferenza unitaria. Il teorema di Pitagora afferma che in un triangolo rettangolo il quadrato dell’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati. Le tre identità pitagoriche in trigonometria sono le seguenti.

sin2θ + cos2θ = 1

1 + tan2θ = sec2θ

1 + cot2θ = cosec2θ

Qui cercheremo di dimostrare la prima identità con l’aiuto del teorema di Pitagora. Prendiamo x e y come le gambe del triangolo rettangolo avendo un’ipotenusa di 1 unità. Applicando il teorema di Pitagora, abbiamo x2 + y2 = 1 che rappresenta l’equazione di una circonferenza unitaria. Inoltre, in una circonferenza unitaria, abbiamo x = cosθ e y = sinθ, e applicando questo nella sopra citata affermazione del teorema di Pitagora, abbiamo cos2θ + sin2θ = 1. Così abbiamo dimostrato con successo la prima identità utilizzando il teorema di Pitagora. Inoltre, all’interno della circonferenza unitaria, possiamo dimostrare anche le altre due identità pitagoriche.

Circonferenza Unitaria e Valori Trigonometrici

I vari valori trigonometrici e le loro angolazioni principali possono essere calcolati mediante l’uso di una circonferenza unitaria. Nella circonferenza unitaria, abbiamo il coseno come coordinata x e il seno come coordinata y. Cerchiamo ora i loro rispettivi valori per θ = 0° e θ = 90º.

Per θ = 0°, la coordinata x è 1 e la coordinata y è 0. Quindi, abbiamo cos0º = 1 e sin0º = 0. Consideriamo un altro angolo di 90º. Qui il valore di cos90º = 1 e sin90º = 1. Inoltre, utilizziamo questa circonferenza unitaria e troviamo i valori importanti delle funzioni trigonometriche di θ, come 30º, 45º, 60º. Inoltre, possiamo anche misurare questi valori di θ in radianti. Sappiamo che 360° = 2π radianti. Possiamo quindi convertire le misure angolari in misure in radianti ed esprimerle in termini di radianti.

Tabella della Circonferenza Unitaria:

La tabella della circonferenza unitaria viene utilizzata per elencare le coordinate dei punti sulla circonferenza unitaria che corrispondono agli angoli comuni con l’aiuto dei rapporti trigonometrici.

Unit Circle nel Piano Complesso

Definizione

Una Unit Circle è costituita da tutti i numeri complessi di valore assoluto pari a 1. Pertanto, ha l’equazione |z| = 1. Qualsiasi numero complesso z = x + (i)y giace sulla circonferenza unitaria con equazione data da x2 + y2 = 1.

Rappresentazione

La circonferenza unitaria può essere considerata come numeri complessi unitari in un piano complesso, ovvero l’insieme di numeri complessi z dato dalla forma,

z = e(i)t = cos t + (i) sin t = cis(t)

La relazione data sopra rappresenta la formula di Eulero.

Utilità

La rappresentazione dei numeri complessi sulla circonferenza unitaria è utile per molte applicazioni in matematica e fisica, come nella trasformata di Fourier e nella teoria dei segnali.

Un cerchio unitario è un cerchio con un raggio di una unità. Generalmente, un cerchio unitario viene rappresentato nel piano cartesiano con il centro nell’origine. L’equazione del cerchio unitario di raggio 1 unità e con il centro in (0, 0) è x2 + y2 = 1. Inoltre, il cerchio unitario ha applicazioni nella trigonometria ed è usato per trovare i valori principali dei rapporti trigonometrici di seno e coseno.

Come si trovano seno e coseno utilizzando il cerchio unitario?

Il cerchio unitario può essere utilizzato per trovare i valori di senθ e cosθ. In un cerchio unitario di raggio 1 unità e con il centro in (0, 0), prendiamo un raggio inclinato rispetto all’asse x positivo ad un angolo θ, e l’estremità del raggio come (x, y). Disegna una perpendicolare dall’estremità del raggio all’asse x e forma un triangolo rettangolo con il raggio come ipotenusa. Il lato adiacente di questo triangolo è il valore x, il lato opposto del triangolo è il valore y e l’ipotenusa è di 1 unità. Inoltre, utilizzando la formula del rapporto trigonometrico abbiamo senθ = Opp/Ipot = y/1 e cosθ = Adj/Ipot = x/1. Pertanto abbiamo senθ = y e cosθ = x.

Cosa è la definizione delle funzioni trigonometriche nel cerchio unitario?

Le funzioni trigonometriche possono essere calcolate per i valori principali utilizzando il cerchio unitario. Per un cerchio unitario con il centro nell’origine (0, 0), il raggio di 1 unità, se il raggio è inclinato ad un angolo θ e l’estremità del vettore raggio è (x, y), allora cosθ = x e senθ = y. Inoltre, tutti gli altri rapporti trigonometrici possono essere calcolati da questi due valori. Inoltre, i valori principali possono essere calcolati cambiando il valore di θ.

Come trovare il punto terminale sul cerchio unitario?

Il punto terminale su un cerchio unitario può essere trovato con l’aiuto dell’equazione del cerchio unitario x2 + y2 = 1. Se il punto dato soddisfa questa equazione, allora è un punto che giace sul cerchio unitario. Inoltre, il punto terminale sul valore unitario può essere trovato per il valore θ, trovando i valori di cosθ e sinθ.

Qual è l’equazione del cerchio unitario?

L’equazione di un cerchio unitario è x2 + y2 = 1. Qui si considera che il cerchio unitario abbia il suo centro nell’origine (0, 0) degli assi cartesiani e ha un raggio di 1 unità. Questa equazione del cerchio unitario è stata derivata utilizzando l’aiuto della formula della distanza.

Come si deriva l’equazione di un cerchio unitario?

L’equazione di un cerchio unitario può essere calcolata utilizzando la formula della distanza della geometria analitica. Per un cerchio con il centro nell’origine (0, 0), il raggio di 1 unità, un punto qualsiasi sul cerchio può essere preso come (x, y). Applicando la definizione di un cerchio e utilizzando la formula della distanza, abbiamo (x – 0)2 + (y – 0)2 = 1, che può essere semplificata come x2 + y2 = 1.

Quando è indefinito il tan sul cerchio unitario?

Il cerchio unitario, avente un’equazione di x2 + y2 = 1, è utile per trovare i rapporti trigonometrici di sinθ = y e cosθ = x. Utilizzando questi valori, possiamo comodamente trovare il valore di tanθ = sinθ/cosθ = y/x. Tanθ sarà indefinito per cosθ = 0, ovvero quando θ è uguale a 90° e 270°.

Qual è la connessione tra i triangoli rettangoli e il cerchio unitario?

I triangoli rettangoli ed un cerchio unitario sono collegati in modo univoco. Qualsiasi punto sul cerchio unitario può essere visualizzato come un triangolo rettangolo con il raggio come l’ipotenusa del triangolo rettangolo e le coordinate del punto come gli altri due lati del triangolo rettangolo. L’equazione di un cerchio x2 + y2 = 1 soddisfa completamente il teorema di Pitagora relativo al triangolo rettangolo. Inoltre, il triangolo rettangolo all’interno del cerchio unitario è utile per derivare i valori del rapporto trigonometrico.

A cosa serve il cerchio unitario?

Il cerchio unitario è utilizzato principalmente in trigonometria. Per i rapporti trigonometrici di sinθ, cosθ, tanθ, i loro valori di angolo principale di 0º, 30º, 45º, 60º, 90º possono essere facilmente calcolati utilizzando il cerchio unitario. Inoltre, il cerchio unitario è utile per rappresentare i numeri complessi nel piano di Argand.

Quali sono i quadranti del cerchio unitario?

Il cerchio unitario ha quattro quadranti simili ai quadranti del sistema di coordinate. I quattro quadranti sono di uguale area e rappresentano un quarto dell’area del cerchio. Ciascuno dei quadranti sottende un angolo di 90º o un angolo retto al centro del cerchio.

Come si descrive un cerchio unitario in termini di numeri complessi?

Un cerchio unitario è composto da tutti i numeri complessi di valore assoluto pari a 1, quindi qualsiasi numero complesso z = x + i*y giacerà sul cerchio unitario con l’equazione data da x2 + y2 = 1. Pertanto, l’equazione del cerchio unitario può essere data come |z| = 1.