L’area di un cerchio è lo spazio occupato dal cerchio in un piano bidimensionale. In alternativa, lo spazio occupato all’interno del confine/circonferenza di un cerchio è chiamato area del cerchio. La formula per l’area di un cerchio è A = πr2, dove r è il raggio del cerchio. L’unità di area è l’unità di superficie, ad esempio m2, cm2, in2, ecc.

La formula per l’area del cerchio è utile per misurare la regione occupata da un campo o un appezzamento di forma circolare. Ad esempio, se si ha un tavolo circolare, la formula dell’area ci aiuterà a sapere di quanto tessuto abbiamo bisogno per coprirlo completamente. Un cerchio ha un volume? No, un cerchio non ha un volume. Un cerchio è una figura bidimensionale, non ha volume. Un cerchio ha solo un’area e un perimetro/circonferenza. Impariamo in dettaglio sull’area di un cerchio, sulla sua superficie e sulla sua circonferenza con esempi.

Cosa è l’Area di un Cerchio?

L’area di un cerchio è la quantità di spazio racchiusa all’interno del confine di un cerchio. La regione all’interno del confine del cerchio è l’area occupata dal cerchio. Può anche essere definita come il numero totale di unità quadrate all’interno del cerchio.

Area di un Cerchio - Formula, Derivazione, Esempi

Formula per l’Area di un Cerchio

L’area di un cerchio si calcola con la formula:

Area del Cerchio = πr² o πd²/4

dove:

Pi (π) = 22/7 o 3,14
r = raggio del cerchio
d = diametro del cerchio

Pi (π) è il rapporto tra la circonferenza e il diametro di qualsiasi cerchio. È una costante matematica speciale.

Cerchio e le sue Parti

Prima di approfondire l’area del cerchio, ricordiamo il cerchio e le sue parti. Un cerchio è una collezione di punti che si trovano ad una distanza fissa dal centro del cerchio. Il cerchio è una figura geometrica chiusa. Vediamo cerchi nella vita quotidiana come le ruote, le pizze, un terreno circolare, ecc. La misura dello spazio o della regione racchiusa all’interno del cerchio è nota come area del cerchio.

Raggio

La distanza dal centro ad un punto sul confine del cerchio è chiamata raggio di un cerchio. È rappresentato dalla lettera ‘r’ o ‘R’. Il raggio gioca un ruolo importante nella formula per l’area e la circonferenza del cerchio, che impareremo in seguito.

Diametro

Una linea che passa per il centro e i suoi estremi giacciono sul cerchio è chiamata diametro di un cerchio. È rappresentato dalla lettera ‘d’ o ‘D’.

Formula del Diametro

La formula del diametro di un cerchio è il doppio del suo raggio. Diametro = 2 × Raggio. d = 2r o D = 2R. Se il diametro di un cerchio è noto, il suo raggio può essere calcolato come: r = d/2 o R = D/2.

Circonferenza

La circonferenza del cerchio è uguale alla lunghezza del suo confine. Ciò significa che il perimetro di un cerchio è anche chiamato la sua circonferenza. La lunghezza della corda che si avvolge perfettamente attorno al confine del cerchio sarà uguale alla sua circonferenza. La figura seguente aiuta a visualizzare lo stesso. La circonferenza può essere misurata utilizzando la formula:

Formula della Circonferenza

C = 2πr

dove ‘r’ è il raggio del cerchio e π è la costante matematica il cui valore è approssimato a 3,14 o 22/7. Per un cerchio con raggio ‘r’ e circonferenza ‘C’:

π = Circonferenza/Diametro
π = C/2r = C/d

Capiremo le diverse parti di un cerchio utilizzando il seguente esempio della vita reale. Consideriamo un parco di forma circolare come mostrato nella figura sottostante. Possiamo identificare le varie parti di un cerchio con l’aiuto della figura e della tabella riportate di seguito.

Formule per l’Area del Cerchio

L’area di un cerchio può essere calcolata in passaggi intermedi dal diametro e dalla circonferenza del cerchio. Dal diametro e dalla circonferenza, possiamo trovare il raggio e poi trovare l’area del cerchio. Ma queste formule forniscono il metodo più breve per trovare l’area di un cerchio. Se un cerchio ha un raggio ‘r’ allora l’area del cerchio = πr2 o πd2/4 in unità quadrate, dove π = 22/7 o 3,14, e d è il diametro.

Formule per l’Area del Cerchio

Area = π × r², dove ‘r’ è il raggio.
Area = (π/4) × d², dove ‘d’ è il diametro.
Area = C²/4π, dove ‘C’ è la circonferenza (talvolta chiamata perimetro).

Esempi utilizzando la Formula dell’Area del Cerchio

Consideriamo le seguenti illustrazioni basate sulla formula dell’area del cerchio.

Esempio 1:

Se la lunghezza del raggio di un cerchio è di 4 unità. Calcolare la sua area.

Soluzione:

raggio(r) = 4 unità (dato)

Utilizzando la formula dell’area del cerchio:

Area di un Cerchio = πr²

Metto i valori:

A = π(4)²
A = π × 16
A = 16π ≈ 50.27

Risposta: L’area del cerchio è di 50,27 unità quadrate.

Esempio 2:

La lunghezza della corda più grande di un cerchio è di 12 unità. Trovare l’area del cerchio.

Soluzione:

diametro(d) = 12 unità (dato)

Utilizzando la formula dell’area del cerchio:

Area di un Cerchio = (π/4)×d²

Metto i valori:

A = (π/4) × 12²
A = (π/4) × 144
A = 36π ≈ 113.1

Nota: In alternativa, possiamo trovare il raggio (r) prima e poi applicare la formula πr².

Risposta: L’area del cerchio

La formula dell’area del cerchio in termini di diametro è: Area di un Cerchio = πd²/4. Qui ‘d’ è il diametro del cerchio. Il diametro del cerchio è il doppio del raggio del cerchio. d = 2r. Di solito dal diametro, dobbiamo prima trovare il raggio del cerchio e poi trovare l’area del cerchio. Con questa formula, possiamo trovare direttamente l’area del cerchio, dalla misura del diametro del cerchio come mostrato nell’esempio precedente.

Area di un Cerchio Utilizzando la Circonferenza

La circonferenza di un cerchio può essere utilizzata per trovare l’area di quel cerchio. La formula dell’area di un cerchio in termini di circonferenza è data dalla formula: (\dfrac{(Circonferenza)^2}{4\pi}). Di solito ci sono due semplici passaggi per trovare l’area di un cerchio dalla data circonferenza di un cerchio. La circonferenza di un cerchio viene prima utilizzata per trovare il raggio del cerchio. Questo raggio è ulteriormente utile per trovare l’area di un cerchio. Ma utilizzando questa formula, saremo in grado di trovare direttamente l’area di un cerchio dalla circonferenza del cerchio.

Calcolo dell’Area di un Cerchio

L’area del cerchio può essere comodamente calcolata sia dal raggio, dal diametro, che dalla circonferenza del cerchio. La costante utilizzata nel calcolo dell’area di un cerchio è il pi greco, e ha un valore numerico frazionario di 22/7 o un valore decimale di 3.14. Qualsiasi valore di pi può essere utilizzato in base alle esigenze e alle necessità delle equazioni. La tabella seguente mostra l’elenco delle formule se conosciamo il raggio, il diametro o la circonferenza di un cerchio.

In un Cerchio	Nel nostro parco	Nominato dalla lettera
Centro	Fontana	F
Circonferenza	Confine
Corda	Ingresso area giochi	PQ
Raggio	Distanza dalla fontana al cancello d’ingresso	FA
Diametro	Distanza in linea retta tra il cancello d’ingresso e il cancello d’uscita attraverso la fontana	AFB
Segmento minore	La parte più piccola del parco, che è indicata come l’area giochi
Segmento maggiore	La parte più grande del parco, diversa dall’area giochi
Parte interna del cerchio	L’area verde di tutto il parco
Parte esterna del cerchio

Area di un cerchio quando si conosce il raggio.	πr²
Area di un cerchio quando si conosce il diametro.	πd²/4
Area di un cerchio quando si conosce la circonferenza.	C²/4π

Derivazione dell’Area di un Cerchio

Perché l’area del cerchio è πr²? Per capire questo, prima comprendiamo come è derivata la formula per l’area di un cerchio.

Osserviamo attentamente la figura sopra, se dividiamo il cerchio in sezioni più piccole e le disponiamo in modo sistematico, si forma una forma di parallelogramma. Quando il cerchio viene diviso in settori ancora più piccoli, diventa gradualmente la forma di un rettangolo. Più è grande il numero di sezioni, più tende ad avere la forma di un rettangolo come mostrato sopra.

L’area di un rettangolo è = lunghezza × larghezza

La larghezza di un rettangolo = raggio di un cerchio (r)

Quando confrontiamo la lunghezza di un rettangolo e la circonferenza di un cerchio, possiamo vedere che la lunghezza è = ½ la circonferenza di un cerchio

Area del cerchio = Area del rettangolo formato = ½ (2πr) × r

Quindi, l’area del cerchio è πr², dove r, è il raggio del cerchio e il valore di π è 22/7 o 3.14.

Formula dell’Area Superficiale del Cerchio

La superficie di un cerchio è la stessa dell’area di un cerchio. Infatti, quando diciamo l’area di un cerchio, non intendiamo altro che la sua superficie totale. La superficie è l’area occupata dalla superficie di una forma tridimensionale. La superficie di una sfera avrà forma sferica ma un cerchio è una semplice forma piana bidimensionale. Quindi tecnicamente, non usiamo la frase “superficie” per riferirci all’area di un cerchio, invece, lo chiamiamo semplicemente “area del cerchio”.

Se la lunghezza del raggio o del diametro o anche della circonferenza del cerchio è data, allora possiamo trovare l’area superficiale. Viene rappresentata in unità quadrate. La formula dell’area superficiale del cerchio = πr2 dove ‘r’ è il raggio del cerchio e il valore di π è approssimativamente 3,14 o 22/7.

Differenze tra l’Area e la Circonferenza di un Cerchio

Ecco alcune importanti differenze tra circonferenza (perimetro) e area di un cerchio.

	Circonferenza (C)	Area (A)
Definizione	La lunghezza del bordo del cerchio.	La quantità di spazio all’interno del cerchio.
Unità di misura	La stessa lunghezza dell’unità. Esempio: cm, in, ft, ecc.	Viene misurata in unità quadrate. Esempio: cm2, in2, ft2, ecc.
Formula	2πr	πr2
Rapporto con il raggio	La circonferenza è direttamente proporzionale al raggio.	L’area è direttamente proporzionale al quadrato del raggio.
Rapporto con il diametro	La circonferenza è direttamente proporzionale al diametro.	L’area è direttamente proporzionale al quadrato del diametro.

Esempio reale sull’area del cerchio

Ron e i suoi amici hanno ordinato una pizza venerdì sera. Ogni fetta era lunga 15 cm.

Calcolo dell’area della pizza ordinata da Ron

Possiamo assumere che la lunghezza della fetta di pizza sia uguale al raggio della pizza. Possiamo quindi utilizzare la formula per il calcolo dell’area del cerchio per trovare l’area della pizza. Il raggio è di 15 cm.

Formula dell’area del cerchio

La formula dell’area del cerchio è: πr²

Quindi, l’area della pizza di Ron è:

Area del cerchio = πr² = 3.14 × 15 × 15 = 706,5

L’area della pizza ordinata da Ron è di 706,5 cm².

Come calcolare l’area di un cerchio?

Formule per il calcolo dell’area del cerchio

L’area di un cerchio può essere calcolata se conosciamo il raggio (r), il diametro (d) o la circonferenza (C) utilizzando una delle seguenti formule:

Area = π × r²
Area = (π/4) × d²
Area = C²/4π

Formula dell’area del cerchio

La formula per il calcolo dell’area del cerchio è: Area del cerchio = π × r².

L’area di un cerchio è π moltiplicato per il quadrato del raggio. L’area di un cerchio quando il raggio ‘r’ è dato è πr². L’area di un cerchio quando il diametro ‘d’ è noto è πd²/4. π è circa 3,14 o 22/7. L’area (A) può anche essere trovata utilizzando le formule A = (π/4) × d², dove ‘d’ è il raggio e A = C²/4π, dove ‘C’ è la circonferenza data.

Circonferenza e area di un cerchio

La circonferenza del cerchio è uguale alla lunghezza del suo perimetro. Ciò significa che il perimetro di un cerchio è uguale alla sua circonferenza. L’area di un cerchio è πr² e il perimetro (circonferenza) è 2πr quando il raggio è di ‘r’ unità, π è circa 3,14 o 22/7. La circonferenza e la lunghezza del raggio di un cerchio sono parametri importanti per trovare l’area di quel cerchio. Per un cerchio con raggio ‘r’ e circonferenza ‘C’:

π = Circonferenza ÷ Diametro
π = C/2r
Pertanto, C = 2πr

Perché la formula dell’area del cerchio è πr²?

Un cerchio può essere diviso in molti settori piccoli che possono quindi essere riorganizzati in modo appropriato per formare un parallelogramma. Quando il cerchio viene diviso in settori ancora più piccoli, diventa gradualmente la forma di un rettangolo. Possiamo chiaramente vedere che uno dei lati del rettangolo sarà il raggio e l’altro sarà la metà della lunghezza della circonferenza, cioè, π. Poiché sappiamo che l’area di un rettangolo è la sua lunghezza moltiplicata per la larghezza che è π moltiplicato per ‘r’, l’area del cerchio è quindi πr².

Qual è la formula dell’area del cerchio in termini di π?

Il valore di π

Il valore di π (pi) è approssimativamente 3,14. Pi è un numero irrazionale. Ciò significa che la sua forma decimale non termina (come 1/5 = 0,2) né diventa ripetitiva (come 1/3 = 0,3333…). Pi è 3,141592653589793238… (solo fino a 18 cifre decimali). Pertanto, la formula dell’area del cerchio in termini di π è data come πr² unità di superficie.

Come trovare la circonferenza e l’area del cerchio?

La circonferenza e l’area di un cerchio possono essere calcolate utilizzando le seguenti formule. Circonferenza = 2πr; Area = πr². La circonferenza del cerchio può essere considerata come π volte il diametro del cerchio. E l’area del cerchio è π volte il quadrato del raggio del cerchio.

Come calcolare l’area di un cerchio con il diametro?

Il diametro del cerchio è il doppio del raggio del cerchio. Pertanto, la formula per l’area del cerchio utilizzando il diametro è uguale a π/4 volte il quadrato del diametro del cerchio. La formula per l’area del cerchio utilizzando il diametro del cerchio è π/4 × diametro².

Come trovare l’area di un cerchio dati la circonferenza?

L’area di un cerchio può anche essere trovata utilizzando la circonferenza del cerchio. Il raggio del cerchio può essere trovato dalla circonferenza del cerchio e questo valore può essere utilizzato per trovare l’area del cerchio. Supponiamo che la circonferenza del cerchio sia ‘C’. Abbiamo C = 2πr, o r = C/2π. Ora applicando questo valore ‘C’ nella formula dell’area abbiamo A = πr² = π × (C/2π)² = C²/4π.

Formule dell’area e del perimetro del cerchio

Per un cerchio di raggio ‘r’:

Area = πr²
Circonferenza = 2πr

Qual è l’area del cerchio inscritto in un quadrato di lato 6 m?

Quando un cerchio è inscritto all’interno di un quadrato, il diametro del cerchio = lunghezza del lato del quadrato = 6 m. Quindi il suo raggio = 3 m. Pertanto, l’area del cerchio inscritto nel quadrato dato = 3,14 × 3 × 3 = 28,26 m².

Qual è l’area di un cerchio dato il suo perimetro?

La circonferenza di un cerchio è di 16 cm. Conosciamo la formula della circonferenza, C = 2πr. Quindi, 2πr = 16 o r = 16/2π = 8/π. Sostituendo il valore di ‘r’ nella formula dell’area del cerchio, otteniamo:

A = πr²
A = π(8/π)² = 64/π
Risolvendo, Area = 20,38 cm².