Gli angoli congruenti sono gli angoli che hanno la stessa misura. Quindi, tutti gli angoli che hanno la stessa misura saranno chiamati angoli congruenti. Si possono trovare ovunque, ad esempio nei triangoli equilateri, nei triangoli isosceli o quando una trasversale interseca due linee parallele. In questo articolo, impareremo di più sulla congruenza degli angoli e sulla loro costruzione.
Cosa sono gli Angoli Congruenti?
In matematica, la definizione di angoli congruenti è “gli angoli che hanno la stessa misura sono noti come angoli congruenti”. In altre parole, gli angoli uguali sono angoli congruenti. Viene indicato dal simbolo “≅”, quindi se vogliamo rappresentare ∠A congruente a ∠X, lo scriveremo come ∠A ≅ ∠X. Guarda un esempio di angoli congruenti riportato di seguito.
Esempio di Angoli Congruenti
Nell’immagine sopra, entrambi gli angoli hanno la stessa misura (60∘ ciascuno). Possono sovrapporsi completamente l’uno sull’altro. Quindi, in base alla definizione, possiamo dire che entrambi gli angoli dati sono angoli congruenti.
Teorema degli Angoli Congruenti
Ci sono molti teoremi basati sugli angoli congruenti. Utilizzando il teorema degli angoli congruenti possiamo facilmente capire se due angoli sono congruenti o meno. Di seguito sono elencati questi teoremi:
Teoremi degli Angoli Congruenti
- Teorema degli angoli verticali
- Teorema degli angoli corrispondenti
- Teorema degli angoli alterni interni
- Teorema degli angoli supplementari congruenti
- Teorema degli angoli complementari congruenti
Capiamo ora nel dettaglio ciascun teorema insieme alla sua dimostrazione.
Teorema degli Angoli Verticali
Secondo il teorema degli angoli verticali, gli angoli verticali sono sempre congruenti. Verifichiamone la dimostrazione.
Enunciato: Gli angoli verticali sono congruenti.
Dimostrazione: La dimostrazione è semplice e si basa sugli angoli retti. Sappiamo già che gli angoli su una linea retta si sommano a 180°.
Quindi nell’immagine sopra:
| Enunciato | Reason |
|---|---|
| ∠1+∠2 = 180° | Angoli adiacenti supplementari |
| ∠1+∠4 = 180° | Angoli adiacenti supplementari |
| ∴ ∠1+∠2 = 180∘ = ∠1+∠4 | Per uguaglianza tra le somme degli angoli |
| ∴ ∠1+∠2 =∠1+∠4 | Quantità uguali alla stessa quantità sono uguali tra loro. (Transitiva: se a=b e b=c, allora a=c) |
| ∴ ∠2 =∠4 | Se da uguali si sottraggono uguali, le differenze sono uguali. (Eliminando ∠1 da entrambi i lati) |
Inoltre, ∠1=∠3. Analogamente, possiamo dimostrarlo per ∠1 e ∠3.
Conclusione: Gli angoli opposti al vertice sono sempre angoli congruenti.
Teorema degli Angoli Corrispondenti
La definizione degli angoli corrispondenti ci dice che quando due linee parallele sono intersecate da una terza, gli angoli che occupano la stessa posizione relativa in ciascuna intersezione sono noti come angoli corrispondenti tra loro.
Quando una trasversale interseca due linee parallele, gli angoli corrispondenti sono sempre congruenti tra loro. In questa figura, ∠1 = ∠2. È un postulato, quindi non abbiamo bisogno di dimostrarlo. Viene sempre considerato vero senza dimostrazione.
Teorema degli Angoli Alterni Interni
Quando una trasversale interseca due linee parallele, ogni coppia di angoli alterni interni è congruente.
Riferendoci alla figura sopra, abbiamo:
- ∠1 = ∠5 (angoli corrispondenti)
- ∠3 = ∠5 (angoli opposti al vertice)
Quindi, ∠1 = ∠3. Analogamente, possiamo dimostrare che anche le altre tre coppie di angoli alterni sono congruenti.
Teorema degli Angoli Supplementari Congruenti
Gli angoli supplementari sono quelli la cui somma è 180°. Questo teorema afferma che gli angoli supplementari allo stesso angolo sono angoli congruenti, che siano adiacenti o meno.
Possiamo dimostrare questo teorema utilizzando la proprietà del paio lineare di angoli, come:
- ∠1+∠2 = 180° (Paio lineare di angoli)
- ∠2+∠3 = 180° (Paio lineare di angoli)
Dalle due equazioni sopra, otteniamo ∠1 = ∠3. Pertanto, gli angoli supplementari allo stesso angolo sono angoli congruenti.
Teorema degli Angoli Complementari Congruenti
Gli angoli complementari sono quelli la cui somma è 90°. Questo teorema afferma che gli angoli che completano lo stesso angolo sono angoli congruenti, che siano adiacenti o meno. Capiamolo con l’aiuto dell’immagine riportata di seguito.
Possiamo facilmente dimostrare questo teorema in quanto entrambi gli angoli formati sono angoli retti.
- ∠a+∠b = 90° (∵∠a e ∠b formano un angolo di 90°)
- ∠a+∠c = 90° (∵∠a e ∠c formano un angolo di 90°)
Quindi, dalle due equazioni sopra, otteniamo ∠b ≅ ∠c. Pertanto, due angoli complementari allo stesso angolo sono angoli congruenti.
Costruzione di Angoli Congruenti
In questa sezione, impareremo come costruire due angoli congruenti in geometria. Ci sono due casi che si presentano durante l’apprendimento della costruzione di angoli congruenti, e sono i seguenti:
Costruzione di Due Angoli Congruenti con Qualsiasi Misurazione
Impariamo la costruzione di due angoli congruenti passo dopo passo.
- Step 1: Disegnare due linee orizzontali di lunghezza adeguata con l’aiuto di una matita e un righello o una riga.
- Step 2: Prendere qualsiasi arco sul compasso, inferiore alla lunghezza delle linee disegnate nel primo passaggio, e tenere la punta del compasso sull’estremità della linea. Disegnare l’arco mantenendo le linee AB e PQ come base senza cambiare la larghezza del compasso.
- Step 3: Tenere la punta del compasso sul punto D ed espandere le gambe del compasso per disegnare un arco di lunghezza adeguata. Disegnare quell’arco e ripetere lo stesso processo con lo stesso arco tenendo la punta del compasso sul punto S.
- Step 4: Disegnare le linee che uniranno AC e PR.
In questo modo otteniamo due angoli congruenti in geometria, ∠CAB e ∠RPQ.
Costruzione di un Angolo Congruente all’Angolo Dato
Per costruire un angolo congruente a un dato angolo, seguire i seguenti passaggi:
- Step 1: Disegnare l’angolo dato, ∠ABC, con la sua ampiezza specifica con l’aiuto di una matita e un righello o una riga.
- Step 2: Prendere qualsiasi punto sull’arco dell’angolo e tracciare un’arco di qualsiasi lunghezza usando il compasso.
- Step 3: Tenendo la punta del compasso su questo punto, disegnare un arco sull’angolo dato, ∠ABC.
- Step 4: Tenendo la punta del compasso sul punto in cui l’arco ha intersecato il lato AB, disegnare un altro arco.
- Step 5: Disegnare una linea che unisca il punto dove gli archi si intersecano e C. L’angolo formato da questa linea e il lato BC è congruente all’angolo dato ∠ABC.
Costruzione di un Angolo Congruente all’Angolo Dato
Ora che hai imparato come costruire due angoli congruenti in geometria con qualsiasi misurazione, vediamo come costruire un angolo congruente a un angolo dato. Impariamo passo dopo passo.
Supponiamo che ci sia un angolo ∠ABC dato e dobbiamo creare un angolo congruente a ∠ABC.
- Step 1: Disegnare una linea orizzontale di lunghezza adeguata e chiamarla YZ.
- Step 2: Tenere la punta del compasso sul punto B dell’angolo dato e disegnare un arco mantenendo BC come base e chiamare quel punto D.
- Step 3: Con la stessa larghezza, disegnare un arco tenendo la punta del compasso sul punto Y e chiamare il punto sulla linea YZ come O.
- Step 4: Tenere la punta del compasso sul punto D e misurare l’arco dal punto D al punto di intersezione dell’arco al segmento AB.
- Step 5: Con lo stesso arco, tenere la punta del compasso sul punto O e segnare un taglio sull’arco disegnato nel passaggio 3, e chiamare quel punto come X.
- Step 6: Disegnare una linea e unire i punti X e Y.
In questo modo, otteniamo ∠ABC ≅ ∠XYZ, che soddisfa la definizione di angolo congruente. Ecco come possiamo costruire un angolo congruente all’angolo dato.
Suggerimenti e Trucchi per gli Angoli Congruenti:
- Gli angoli congruenti sono semplicemente un altro nome per gli angoli uguali.
- Tutti gli angoli opposti al vertice sono angoli congruenti.
- Tutti gli angoli alternati e gli angoli corrispondenti formati dall’intersezione di due linee parallele e una trasversale sono angoli congruenti.
- Secondo la definizione di angoli congruenti “Perché due angoli siano congruenti, devono essere della stessa misura”.
Che Cosa Significano gli Angoli Congruenti?
In matematica, gli angoli congruenti sono quegli angoli che hanno la stessa misura e possono essere sovrapposti l’uno sull’altro senza lacune o sovrapposizioni. Il simbolo per gli angoli congruenti è ≅.
Quali Sono le Condizioni Richieste per gli Angoli Congruenti?
C’è solo una condizione richiesta perché gli angoli siano congruenti e cioè, devono essere della stessa misura.
Gli Angoli Congruenti Si Sommano a 180°?
In generale, tutti gli angoli congruenti non sono angoli supplementari. Perché gli angoli si sommino a 180, devono essere angoli supplementari. Quindi solo gli angoli retti sono congruenti e supplementari perché hanno la stessa misura e si sommano a 180.
Gli Angoli Retti Sono Congruenti?
Gli angoli retti sono sempre congruenti poiché la loro misura è la stessa. Misurano sempre 90°.
Che Cosa Sono gli Angoli Congruenti in Linee Parallele?
Quando due linee parallele sono tagliate da una trasversale, otteniamo alcuni angoli congruenti che sono angoli corrispondenti, angoli opposti al vertice, angoli alterni interni ed angoli alterni esterni.
Come Possiamo Sapere se gli Angoli Sono Congruenti?
Due angoli sono congruenti se la loro misura è la stessa. Quindi, possiamo verificare la misura dell’angolo dato con l’aiuto di un goniometro per sapere se gli angoli dati sono congruenti o meno.
Gli Angoli Congruenti Sono Uguali?
Sì, gli angoli congruenti sono uguali.
Come Trovare gli Angoli Congruenti?
Qualsiasi due angoli della stessa misura sono angoli congruenti. Quindi, per trovare gli angoli congruenti, dobbiamo solo identificare tutti gli angoli uguali. Quando posizionati l’uno sopra l’altro, si adattano completamente senza alcuna lacuna.
Quali Tipi di Angoli Sono Sempre Congruenti?
Gli angoli opposti al vertice, gli angoli alterni e gli angoli corrispondenti, disegnati su linee parallele e trasversali, sono sempre angoli congruenti. Inoltre, gli angoli supplementari allo stesso angolo e gli angoli complementari allo stesso angolo sono anche angoli congruenti.
Fonte di riferimento: https://it.wikipedia.org/wiki/Triangolo
